Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} (y+1)^{2}+\sqrt{(-3x-2)^{3}}=1+y\sqrt{-3x-2}-3xy

\(\left\{\begin{matrix} (y+1)^{2}+\sqrt{(-3x-2)^{3}}=1+y\sqrt{-3x-2}-3xy\; \; (1)\\x^{3}+3x^{2}+12x-(3x-1)y+6=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (2) \end{matrix}\right.\)

ĐK: \(x\leq \frac{-2}{3}.\)

\((1)\Leftrightarrow y(y+3x+2)-(y+3x+2)\sqrt{-3x-2}=0\)

\(\Leftrightarrow (y+3x+2)(y-\sqrt{-3x-2})=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} y=-3x-2\\y=\sqrt{-3x-2} \end{matrix}\)

Với \(y=-3x-2\) thay vào (2) ta được:

\(x^{3}+3x^{2}+12x-(3x-1)(-3x-2)+6=0\Leftrightarrow x^{3}+12x^{2}+15x+4=0\Leftrightarrow (x+1)(x^{2}+11x+4)=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=-1\\x=\frac{-11\pm \sqrt{105}}{2} \end{matrix}\)

Từ đó, tìm được các nghiệm \((x;y)\) là \((-1;1),(\frac{-11-\sqrt{105}}{2};\frac{29+3\sqrt{105}}{2})\)

+ Với \(y=\sqrt{-3x-2}\) thay vào (2) ta được:

\(x^{3}+3x^{2}+12x-(3x-1)\sqrt{-3x-2}+6=0\)

\(\Leftrightarrow (-3x-2)\sqrt{-3x-2}-3(-3x-2)+3\sqrt{-3x-1}-1=-x^{3}-3x^{2}-3x-1\Leftrightarrow (\sqrt{-3x-2}-1)^{3}=(-x-1)^{3}\Leftrightarrow \sqrt{-3x-2}=-x\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 0\\x^{2}+3x+2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \lbrack\begin{matrix} x=-1\\x=-2 \end{matrix}\)

Từ đó tìm được các nghiệm là \((x;y)\) là \((-1;1),(-2;2)\)

Vậy hệ có các nghiệm \((x;y)\) là \((-1;1),(-2;2),(\frac{-11-\sqrt{105}}{2};\frac{29+3\sqrt{105}}{2})\)