Với cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số tăng thỏa mãn điều kiện là \(\left\{ \begin{array}{l}{u_{31}} + {u_{34}} = 11\\u_{31}^2 + u_{34}^2 = 101\end{array} \right.\). Tìm số hạng đầu tiên \({u_1}\), công sai \(d\) và số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_{31}} + {u_{34}} = 11\\u_{31}^2 + u_{34}^2 = 101\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_{34}} = 11 - {u_{31}}\\u_{31}^2 + {\left( {11 - {u_{31}}} \right)^2} = 101\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_{34}} = 11 - {u_{31}}\\2u_{31}^2 - 22{u_{31}} + 121 = 101\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_{34}} = 11 - {u_{31}}\\2u_{31}^2 - 22{u_{31}} + 20 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_{34}} = 11 - {u_{31}}\\{u_{31}} = 2,{u_{31}} = 10\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_{31}} = 2,{u_{34}} = 9\\{u_{31}} = 10,{u_{34}} = 1\end{array} \right.\)

Mà dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) tăng nên \({u_{34}} > {u_{31}}\), do đó \({u_{31}} = 2,{u_{34}} = 9\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 30d = 2\\{u_1} + 33d = 9\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = \dfrac{7}{3}\\{u_1} =  - 68\end{array} \right.\)

Số hạng tổng quát \({u_n} =  - 68 + \dfrac{7}{3}\left( {n - 1} \right)\).

Vậy \({u_1} =  - 68,d = \dfrac{7}{3},\)\({u_n} =  - 68 + \dfrac{7}{3}\left( {n - 1} \right)\).