Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường tròn (C ) có phương trình \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 4\). Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục \(Oy\) và phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec v = (2;3)\) biến (C ) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau ?

Gọi \(\left( {C'} \right) = \)ĐOy (C)

\(M'(x';y')\) là ảnh của \(M(x;y) \in \left( C \right)\)qua ĐOy \( \Rightarrow M' \in \left( {C'} \right)\)

Khi đó ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' =  - x}\\{y' = y}\end{array}} \right.\)

Gọi\(\left( {C''} \right) = {T_{\vec v}}\left( {C'} \right)\)

Gọi \(M''\left( {x'';y''} \right)\) là ảnh của \(M'(x';y') \in \left( {C'} \right)\) qua \({T_{\vec v}} \Rightarrow M'' \in \left( {C''} \right)\)

Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x'' = x' + 2}\\{y'' = y' + 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x'' =  - x + 2}\\{y'' = y + 3}\end{array}} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - x''}\\{y = y'' - 3}\end{array}} \right.\)

Mà \(M \in \left( C \right)\) nên \({\left( {2 - x'' - 1} \right)^2} + {\left( {y'' - 3 + 2} \right)^2} = 4 \)\(\Leftrightarrow {\left( {1 - x''} \right)^2} + {\left( {y'' - 1} \right)^2} = 4 \)\(\Leftrightarrow {\left( {x'' - 1} \right)^2} + {\left( {y'' - 1} \right)^2} = 4\)

Mặt khác \(M'' \in \left( {C''} \right)\)

Vậy phương trình đường tròn \(\left( {C''} \right)\) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\)

Chọn D.