Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1+2x/3)^10

ta có : \(\left(1+\dfrac{2x}{3}\right)^{10}=\sum\limits^{10}_{k=0}\left(\dfrac{2}{3}\right)^k.x^k\)

vì \(0< \dfrac{2}{3}< 1\) \(\Rightarrow\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k-1}>\left(\dfrac{2}{3}\right)^k\)

mà vì \(K\in N\)

\(\Rightarrow\) hệ số lớn nhất trong khai triển \(\left(1+\dfrac{2x}{3}\right)^{10}\) là \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^0=1\)

Lời giải:

Theo khai triển nhị thức Newton ta có:

\(\left ( 1+\frac{2x}{3} \right )^{10}=\sum _{k=0}^{10}C^{k}_{10} 1^{k}\left ( \frac{2x}{3} \right )^{10-k}\)

\(=C^{0}_{10}\left ( \frac{2x}{3} \right )^{10}+C_{10}^{1}\left ( \frac{2x}{3} \right )^9+.....+C_{10}^{10}\left ( \frac{2x}{3} \right )^0\)

Các hệ số: \(C_{10}^0(\frac{2}{3})^{10}; C_{10}^{1}(\frac{2}{3})^9; ...; C_{10}^{10}(\frac{2}{3})^0\)

Xét hàm: \(f(x)=C_{10}^{x}\left(\frac{2}{3}\right)^{10-x}\)

\(f(a+1)=C_{10}^{a+1}(\frac{2}{3})^{9-a}\)

\(f(a)=C_{10}^{a}\left(\frac{2}{3}\right)^{10-a}\)

\(f(a+1)-f(a)=\frac{10!}{(a+1)!(9-a)!}\frac{2^{9-a}}{3^{9-a}}-\frac{10!}{a!(10-a)!}\frac{2^{10-a}}{3^{10-a}}\)

\(=\frac{10!.2^{9-a}}{a!(9-a)!.3^{9-a}}\left[ \frac{1}{a+1}-\frac{2}{3(10-a)}\right]\)

\(=\frac{10!.2^{9-a}}{a!(9-a)!.3^{9-a}}.\frac{28-5a}{3(a+1)(10-a)}\)

Nếu \(a\geq 6\Rightarrow f(a+1)-f(a)< 0\Rightarrow \) hàm giảm

Nếu \(a\leq 6\Rightarrow f(a+1)-f(a)> 0\) , hàm tăng

Do đó điểm cực đại của \(f(x)\) với \(x=0;1;2;....; 10\) đặt tại \(x=6\)

Do đó hệ số lớn nhất là: \(C_{10}^{6}(\frac{2}{3})^4=\frac{1120}{27}\)