Tìm ẩn m để phương trình \(\left( {1 - \sin x} \right)\left( {\cos 8x + m\sin x} \right) = m{\cos ^2}x\) có đúng 4 nghiệm \(x \in \left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right]\).

\(\begin{array}{l}\left( {1 - \sin x} \right)\left( {\cos 8x + m\sin x} \right) = m{\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \sin x} \right)\left( {\cos 8x + m\sin x} \right)\\ = m\left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos 8x + m\sin x = m + m\sin x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} \in \left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right]\\\cos 8x = m(2)\end{array} \right.\end{array}\)

(1) có 4 nghiệm phân biệt \(x \in \left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) khi và chỉ khi (2) có đúng 3 nghiệm phân biệt \(x \in \left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

Xét hàm số \(y = \cos 8x\) trên \(\left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right)\). Khi đó nghiệm của (2) là hoành độ giao điểm của hàm số này và đường thẳng \(y = m\).

\(x \in \left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow 8x \in \left[ {\dfrac{{4\pi }}{3};4\pi } \right)\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \cos 8x\) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi \( - \dfrac{1}{2} \le m < 1\).

Vậy \( - \dfrac{1}{2} \le m < 1\).