Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình : \(\sin x + \sin 2x = \cos x + 2{\cos ^2}x\) là:

\(\begin{array}{l}
\sin x + \sin 2x = \cos x + 2{\cos ^2}x\\
\Leftrightarrow \sin x + 2\sin x\cos x = \cos x + 2{\cos ^2}x\\
\Leftrightarrow \sin x\left( {1 + 2\cos x} \right) = \cos x\left( {1 + 2\cos x} \right)\\
\Leftrightarrow \sin x\left( {1 + 2\cos x} \right) - \cos x\left( {1 + 2\cos x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {1 + 2\cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 + 2\cos x = 0\\
\sin x - \cos x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = - \frac{1}{2}\\
\sin x = \cos x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = - \frac{1}{2}\\
\tan x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\
x = \frac{\pi }{4} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm \(x=\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \) là \(x=\frac{{2\pi }}{3} \).

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm \(x=-\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \) là \(x=\frac{{4\pi }}{3} \).

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm \(x=\frac{{\pi }}{4} + k2\pi \) là \(x=\frac{{\pi }}{4} \).

So sánh ba nghiệm trên ta thấy nghiệm nhỏ nhất là \(x=\frac{{\pi }}{4} \).

Chọn B