Khi ta khai triển đa thức \(P\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}x} \right)^{10}} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_9}{x^9} + {a_{10}}{x^{10}}\). Tìm hệ số \({a_k}\,\,\left( {0 \le k \le 10;\,\,k \in \mathbb{N}} \right)\) lớn nhất trong khai triển trên.

SHTQ : \({T_{k + 1}} = C_{10}^k.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{10 - k}}.{\left( {\dfrac{2}{3}x} \right)^{10 - k}}\) \( = C_{10}^k.\dfrac{1}{{{3^{10 - k}}}}.\dfrac{{{2^k}}}{{{3^k}}}{x^k} = \dfrac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}}{x^k}\)

Hệ số của SHTQ là \(\dfrac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}}\).

Ta có : \(\dfrac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}} < \dfrac{{C_{10}^{k + 1}{{.2}^{k + 1}}}}{{{3^{10}}}}\) \( \Leftrightarrow C_{10}^k{.2^k} < C_{10}^{k + 1}{.2^{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow C_{10}^k < 2C_{10}^{k + 1}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{10!}}{{k!\left( {10 - k} \right)!}} < 2.\dfrac{{10!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {9 - k} \right)!}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{10 - k}} < \dfrac{2}{{k + 1}} \Leftrightarrow k + 1 < 2\left( {10 - k} \right)\) \( \Leftrightarrow 3k < 19 \Leftrightarrow k < \dfrac{{19}}{3}\)

Do đó \(\dfrac{{C_{10}^0{{.2}^0}}}{{{3^{10}}}} < \dfrac{{C_{10}^1{{.2}^1}}}{{{3^{10}}}} < ... < \dfrac{{C_{10}^6{{.2}^6}}}{{{3^{10}}}}\) và \(\dfrac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}} > \dfrac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}} > ... > \dfrac{{C_{10}^{10}{{.2}^{10}}}}{{{3^{10}}}}\)

Mà \(\dfrac{{C_{10}^6{{.2}^6}}}{{{3^{10}}}} < \dfrac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}}\) nên hệ số lớn nhất là \(\dfrac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}}\).

Chọn A.