Hãy tìm \(a\) để phương trình sau \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x - a} \right) = 0\) có đúng hai nghiệm thuộc \(\left( {0;\pi } \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x - a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\\cos x - a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \dfrac{1}{2}\\\cos x = a\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\\cos x = a\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \) có 1 nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} \in \left( {0;\pi } \right)\).

Họ nghiệm \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \) có 1 nghiệm \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} \in \left( {0;\pi } \right)\).

Do đó để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm thuộc \(\left( {0;\pi } \right)\) thì hoặc phương trình (*) vô nghiệm, hoặc phương trình (*) có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6}\) hoặc \(x = \dfrac{{5\pi }}{6}\).

TH1: (*) vô nghiệm \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 1\\a <  - 1\end{array} \right.\).

TH2: (*) có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6}\).

\( \Rightarrow \cos \dfrac{\pi }{6} - a = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Thử lại: Với \(a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \) có đúng 1 nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} \in \left( {0;\pi } \right)\).

TH3: (*) có nghiệm \(x = \dfrac{{5\pi }}{6}\).

 \( \Rightarrow \cos \dfrac{{5\pi }}{6} - a = 0 \Leftrightarrow a =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Thử lại: Với \(a =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \cos x =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \) có đúng 1 nghiệm \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} \in \left( {0;\pi } \right)\).

Vậy \(a \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right) \cup \left\{ { \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right\}\).