Giải phương trình lượng giác sau: \(\sin 3x + 4\cos 2x - \sin x = 0\)

\(\sin 3x + 4\cos 2x - \sin x = 0\)

\(\Leftrightarrow 3\sin x - 4{\sin ^3}x + 4(1 - 2{\sin ^2}x) - \sin x = 0\)

\(\Leftrightarrow 2{\sin ^3}x + 4{\sin ^2}x - \sin x - 2 = 0\,(1)\)

Đặt \(\sin x = t\,\,(\left| t \right| \le 1)\)

Khi đó phương trình (1) trở thành \(2{t^3} + 4{t^2} - t - 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow (t + 2)(2{t^2} - 1) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t =  - 2\,(KTM)}\\{t =  \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\,(TM)}\end{array}} \right.\)

Với \(t = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\(\Leftrightarrow \sin x = \sin \dfrac{\pi }{4}\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\,(k \in \mathbb{Z})\)

Với \(t =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \sin x =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\(\Leftrightarrow \sin x = \sin ( - \dfrac{\pi }{4})\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\,(k \in \mathbb{Z})\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x =  \pm \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \); \(x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \); \(x = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)