Giải phương trình: \(\cot 2x\cot 3x= 1\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l} \sin 2x\ne0\\\sin 3x\ne0\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 2x\ne m\pi ,m\in\mathbb{Z}\\3x\ne m\pi ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x\ne m\dfrac{\pi}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\x\ne m\dfrac{\pi}{3} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)

Ta có: \(\cot 2x\cot 3x = 1\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}\dfrac{\cos 3x}{\sin 3x}=1\)

\(\Rightarrow \cos 2x\cos 3x=\sin 2x\sin 3x\)

\(\Leftrightarrow \cos 2x\cos 3x-\sin 2x\sin 3x=0\)

\(\Leftrightarrow \cos (2x+3x)=0\)

\(\Leftrightarrow \cos 5x=0\)

\(\Leftrightarrow 5x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\)

Với điều kiện ở trên khi đó:

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5}\ne m\dfrac{\pi}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5}\ne m\dfrac{\pi}{3} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} k\ne\dfrac{5m-1}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\k\ne\dfrac{10m-3}{6} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\)

với \(k\ne\dfrac{5m-1}{2}\) và \(k\ne\dfrac{10m-3}{6}\)  \(m\in\mathbb{Z}\).