Cho tứ diện đều \(ABCD\). Một mặt phẳng \((α)\) qua trung điểm của cạnh \(AB\) và lần lượt song song với \(AC\) và \(BD\) cắt tứ diện trên theo thiết diện là:

Gọi E là trung điểm AB. Ta có \(E \in \left( {ABC} \right) \cap \left( \alpha  \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AC \subset \left( {ABC} \right)\\AC//\left( \alpha  \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {ABC} \right) = Ex\end{array} \right.\) \( \Rightarrow Ex//AC\)

Trong mp(ABC), kẻ \(Ex//AC\) cắt BC tại F nên F là trung điểm BC.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}F \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {BCD} \right)\\BD \subset \left( {BCD} \right)\\BD//\left( \alpha  \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {BCD} \right) = Fy\end{array} \right.\) \( \Rightarrow Fy//BD\)

Trong mp(BCD), kẻ \(Fy//BD\) cắt \(DC\) tại G, khi đó G là trung điểm DC.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}G \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {ACD} \right)\\AC \subset \left( {ACD} \right)\\AC//\left( \alpha  \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {ACD} \right) = Gz\end{array} \right.\) \( \Rightarrow Gz//AC\)

Trong mp(ACD), kẻ \(Gz//AC\) cắt \(DA\) tại H, khi đó H là trung điểm DA.

Do đó

\(\begin{array}{l}EF = GH = \frac{1}{2}AC\\FG = HE = \frac{1}{2}BD\end{array}\)

Mà AC=BD do hình tứ diện đều nên \(EF = GH = FG = HE\) hay EFGH là hình thoi.

Xét hai tam giác đều ABC và DBC bằng nhau (c-c-c) nên AF=DF (hai đường trung tuyến tương ứng)

Do đó tam giác ADF cân tại F.

Xét hai tam giác đều DAB và CAB bằng nhau (c-c-c) nên DE=CE (hai đường trung tuyến tương ứng)

Do đó tam giác ADF cân tại F.

Mà CE=AF nên AF=DF=DE=DE.

Suy ra hai tam giác DAF và DCE bằng nhau (c-c-c)

\( \Rightarrow HF = EG\) (hia trung tuyến tương ứng)

Thiết diện EFGH là một hình thoi có hai đường chéo bằng nhau nên nó là một hình vuông.

Chọn đáp án: B