Cho một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi độc lập. Mỗi câu hỏi có 4 đáp án trả lời trong đó chỉ có 1 đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm, câu trả lời sai được 0 điểm. Học sinh A làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên câu trả lời cho tất cả 50 câu hỏi. Biết xác suất làm đúng câu k của học sinh A đạt giá trị lớn nhất. Tìm k và số điểm học sinh A đạt được khi đó.

*) Ta sẽ cần tính xác suất để bạn A làm được :

    +) Đúng k câu trên 50 câu.

    +) Sai (50 - k) câu còn lại.

*) A làm đúng k câu, số cách chọn k câu trong 50 câu là \(C_{50}^k\)

Xác suất đúng 1 câu là \(\dfrac{1}{4}\) xác suất sai 1 câu là \(\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\) Xác suất đún k câu là \({\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^k}\) xác suất sai (50 - k) câu là \({\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{50 - k}}\) 

Vậy xác suất để bạn A đúng k câu là: \({P_k} = C_{50}^k{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^k}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{50 - k}}\)

Xét:

\(\eqalign{ & {{{P_{k + 1}}} \over {{P_k}}} = {{C_{50}^{k + 1}{{\left( {{1 \over 4}} \right)}^{k + 1}}{{\left( {{3 \over 4}} \right)}^{50 - \left( {k + 1} \right)}}} \over {C_{50}^k{{\left( {{1 \over 4}} \right)}^k}{{\left( {{3 \over 4}} \right)}^{50 - k}}}}  \cr   &  = {{{{50!} \over {\left( {k + 1} \right)!\left( {50 - k - 1} \right)!}}.{1 \over 4}} \over {{{50!} \over {k!\left( {50 - k} \right)!}}.{3 \over 4}}}  \cr   &  = {{50!} \over {\left( {k + 1} \right)!\left( {50 - k - 1} \right)!}}.{1 \over 4}. \cr & {{k!\left( {50 - k} \right)!} \over {50!}}.{4 \over 3}  \cr  &  = {{50 - k} \over {3\left( {k + 1} \right)}} \cr} \)

Ta có:

\(\eqalign{& {{{P_{k + 1}}} \over {{P_k}}} > 1 \Leftrightarrow {{50 - k} \over {3\left( {k + 1} \right)}} > 1  \cr &  \Leftrightarrow 50 - k > 3k + 3  \cr &  \Leftrightarrow k < {{47} \over 4} = 11,75 \cr &  \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;...;11} \right\}  \cr & {{{P_{k + 1}}} \over {{P_k}}} < 1 \Leftrightarrow {{50 - k} \over {3\left( {k + 1} \right)}} < 1  \cr &  \Leftrightarrow 50 - k < 3k + 3  \cr &  \Leftrightarrow k > {{47} \over 4} = 11,75  \cr & \Rightarrow k \in \left\{ {12;13;...;49} \right\}  \cr  & k = 1 \Rightarrow {P_2} > {P_1}  \cr& k = 2 \Rightarrow {P_3} > {P_2}  \cr & ....  \cr & k = 11 \Rightarrow {P_{12}} > {P_{11}}  \cr& k = 12 \Rightarrow {P_{13}} < {P_{12}}  \cr & ...  \cr& k = 49 \Rightarrow {P_{50}} < {P_{49}}  \cr &  \Rightarrow {P_{11}} > {P_{10}} > ... > {P_1}  \cr & \,\,\,\,\,\,{P_{12}} > {P_{13}} < ... > {P_{50}} \cr} \)

Vì xác suất làm đúng câu k của học sinh A đạt giá trị lớn nhất nên \(\left[ \matrix{k = 11 \hfill \cr k = 12 \hfill \cr}  \right.\)

Ta có \({{{P_{12}}} \over {{P_{11}}}} > 1\)

\(\Rightarrow {P_{12}} > {P_{11}} \Rightarrow k = 12\) thỏa mãn

Vậy khi đó A làm đúng 12 câu và sai 38 câu, số điểm của A là \(12.0,2 = 2,4\) điểm.