Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 1\)có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1;5} \right)\)và \(B\)là giao điểm thứ hai của \(d\) với \(\left( C \right)\) Tính diện tích tam giác \(OAB\)?

Ta có :

\(\begin{array}{l}y = {x^3} + 3{x^2} + 1 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 6x\\ \Rightarrow y'\left( 1 \right) = {3.1^2} + 6.1 = 9\end{array}\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm  là

y = 9(x – 1) + 5 hay y = 9x - 4

Xét phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 1\)

\({x^3} + 3{x^2} + 1 = 9x - 4\)

\(\Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} - 9x + 5 = 0\)

\(\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 5} \right) \)

\(\Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x =  - 5\)

Khi đó B (-5,-49)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \left( { - 6; - 54} \right) =  - 6\left( {1;9} \right)\\AB = \sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {{\left( { - 54} \right)}^2}}  = 6\sqrt {82} \end{array}\)

Đường thẳng AB có nhận \(\overrightarrow n \left( {9; - 1} \right)\)  là 1 véc tơ pháp tuyến

Phương trình đường thẳng AB là:

\(\begin{array}{l}9\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 9x - y - 4 = 0\end{array}\)

Khoảng cách từ O đến đường thẳng AB là:

\(d\left( {O,AB} \right) = \dfrac{{|9.0 - 0 - 4|}}{{\sqrt {{9^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{4}{{\sqrt {82} }}\)

Diên tích tam giác OAB là:

\({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}.d\left( {O,AB} \right).AB = \dfrac{1}{2}\dfrac{4}{{\sqrt {82} }}.6\sqrt {82}  = 12\,\,\left( {dvdt} \right)\)

Đáp án A