Cho hàm số là \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 5}}{{x - 3}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Hãy viết phương trình tiếp tuyến \(\left( \Delta \right)\) của đồ thị \(\left( C \right)\) biết \(\left( \Delta \right)\) song song với đường thẳng \(\left( D \right):y = - 11x\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)

Ta có: \(y' = \frac{{ - 11}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\)

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến \(\left( \Delta  \right)\) với đồ thị hàm số

Vì \(\left( \Delta  \right)//\left( D \right)\) nên hệ số góc của \(\left( \Delta  \right)\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) =  - 11\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - 11}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} =  - 11\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 3} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 3 = 1\\{x_0} - 3 =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 4 \Rightarrow {y_0} = 13\\{x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} =  - 9\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(M\left( {4;13} \right)\) ta có phương trình tiếp tuyến \(\left( \Delta  \right):\) \(y =  - 11\left( {x - 4} \right) + 13\) \( \Leftrightarrow y =  - 11x + 57\)

Với \(M\left( {2; - 9} \right)\) ta có phương trình tiếp tuyến \(\left( \Delta  \right):\) \(y =  - 11\left( {x - 2} \right) - 9\) \( \Leftrightarrow y =  - 11x + 13\)

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: \(y =  - 11x + 57\), \(y =  - 11x + 13\).