Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\sin \frac{1}{x}\,\text{ nếu }\,x \ne 0\\A\,\text{ nếu }\,x = 0\end{array} \right.\). Xác định A để f(x) liên tục tại x = 0. Với giá trị A tìm được, hàm số có đạo hàm tại x = 0 không?

Ta có: \(f\left( 0 \right) = A\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{x^2}\sin \frac{1}{x}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{{x^2}\sin \frac{1}{x}}}{{x.\frac{1}{x}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{{x^2}}}{x}.\frac{{\sin \frac{1}{x}}}{{\frac{1}{x}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x.\frac{{\sin \frac{1}{x}}}{{\frac{1}{x}}}} \right)\\ = \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x} \right).\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \frac{1}{x}}}{{\frac{1}{x}}}} \right)\\ = 0.1\\ = 0\end{array}\)

Hàm số liên tục tại \(x = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\\ \Leftrightarrow A = 0\end{array}\)

Vậy A = 0.

Khi đó, \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\sin \frac{1}{x}\,\text{ nếu }\,x \ne 0\\0\,\text{ nếu }\,x = 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\sin \frac{1}{x} - 0}}{{x - 0}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\sin \frac{1}{x}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x\sin \frac{1}{x}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{x\sin \frac{1}{x}}}{{x.\frac{1}{x}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sin \frac{1}{x}}}{{\frac{1}{x}}}} \right)\\ = 1\end{array}\)

Vậy f(x) có đạo hàm tại x = 0 và \(f'\left( 0 \right) = 1\).