Bài 4: Không gian vectơ con

Tập con \(A \ne \emptyset \) của Rⁿ được gọi là không gian vectơ con của Rⁿ nếu:

\(\begin{array}{l} (i)\,\,\forall x,y \in A,x + y \in A\\ (ii)\,\forall \alpha \in R,\forall x \in A,\alpha x \in A \end{array}\)

Ví dụ: Cho  \(A = {\rm{\{ }}({x_1};1)/{x_1} \in R{\rm{\} }}\). A có phải là không gian vectơ con của R² không ?

Giải:

Ta có: 2.(0; 1) = (0,2) \(\notin \) A

Vậy, tính chất (ii) không thỏa nên A không phải là không gian vectơ con của R².

Ví dụ: Cho \(A = \left\{ {({x_1};{x_2}) \in {R^2}/{x_2} = 3{x_1}} \right\}\). A có phải là không gian vectơcon của R² không ?

Giải:

\((i)\,Coi\,x = ({x_1};{x_2}) \in A,\,y = ({y_1};{y_2}) \in A\,\,thì\,{x_2} = 3{x_2}\,và\,{y_2} = 3{y_1}\)

Suy ra: \(x + y = ({x_1} + {y_1};{x_2} + {y_2}) \in A\,\,vì\,{x_2} + {y_2} = 3({x_1} + {y_1})\)

\((ii)\,\,Coi\,\alpha \in R,x = ({x_1};{x_2}) \in A\,thì\,{x_2} = 3x\)

Suy ra: \(\alpha x = (\alpha {x_1};\alpha {x_2}) \in A\,vì\,\alpha {x_2} = 3(\alpha {x_1})\)

Vậy, A là một không gian vectơ con của R².

Trong R²:

• Không gian vectơ con 0 chiều là gốc tọa độ {O}
• Không gian vectơ con 1 chiều là đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
• Không gian vectơcon 2 chiều là chính R².

Trong R³:

• Không gian vectơ con 0 chiều là gốc tọa độ {O}
• Không gian vectơ con 1 chiều là các đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
• Không gian vectơ con 2 chiều là các mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.
• Không gian vectơ con 3 chiều là chính R³.

Từ định nghĩa của không gian vectơ con, ta chứng minh được: Nếu A là không gian vectơ con của Rⁿ thì A chứa vectơ không

Vậy nếu A không chứa vecto không thì A không phải là không gian vectơ con.

Ví dụ: A ={(x₁; 1)} không phải là không gian con của R² vì A không chứa vectơ không.

Cho V là hệ gồm m vectơ trong Rⁿ.

Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của m vectơ đó tạo thành một không gian con của Rⁿ gọi là không gian sinh bởi V, ký hiệu \(\left\langle V \right\rangle \). Không gian \(\left\langle V \right\rangle \) có số chiều bằng số vectơ độc lập tuyến tính tối đa của hệ vectơ đó.

Ví dụ: Cho hệ vectơ V = {(1;0;0),(0:1;0),(1;1;0)}. Tìm không gian con sinh bởi V và số chiều của không gian con này.

Giải

Ta có: (1;1;0) = (1;0;0) + (0;1;0)

{(1;0;0),(0;1;0)} độc lập tuyến tính. Tổ hợp tuyến tính tùy ý của {(1; 0; 0), (0; 1; 0)} có dạng x₁ (1; 0; 0) + x₂ (0; 1; 0) = (x₁ ; x₂ ; 0)

Vậy, không gian con sinh bởi V là \(\left\langle V \right\rangle = {\rm{\{ (}}{{\rm{x}}_1};{x_2};0)/{x_1},{x_2} \in R{\rm{\} }}\) có \(\dim \left\langle V \right\rangle = 2\)