Bài 1: Hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ: Xét hệ 3 phương trình tuyến tính 4 ẩn số sau đây:

\(\left\{ \begin{array}{l} 2{x_1} - {x_2} + {x_3} - 3{x_4} = 1\\ {x_1} - 4{x_3} + 5{x_4} = - 2\\ - 2{x_2} + {x_4} = 0 \end{array} \right.\)

Đặt \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&1&{ - 3}\\ 1&0&{ - 4}&5\\ 0&{ - 2}&0&1 \end{array}} \right),\,X = ({x_1};{x_2};{x_3};{x_4}) = \left( \begin{array}{l} {x_1}\\ {x_2}\\ {x_3}\\ {x_4} \end{array} \right)\,\,và\,B = \left( \begin{array}{l} 1\\ - 2\\ 0 \end{array} \right)\)

Khi đó, hệ phương trình trên có thể viết lại dưới dạng ma trận là: AX = B.

Trong trường hợp tổng quát, ta xét hệ m phương trình tuyến tính n ẩn như sau: 

\(\left\{ \begin{array}{l} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + .... + {a_{1n}}{x_n} = {b_1}\\ {a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + .... + {a_{2n}}{x_n} = {b_2}\\ ................................\\ {a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + .... + {a_{mn}}{x_n} = {b_m} \end{array} \right.\)

Đặt \(A = {({a_{{\rm{ij}}}})_{m\,x\,n}},\,X = \left( \begin{array}{l} {x_1}\\ .\\ .\\ .\\ {x_n} \end{array} \right),\,B = \left( \begin{array}{l} {b_1}\\ .\\ .\\ .\\ {b_n} \end{array} \right)\). Khi đó, hệ phương trình trên có thể viết lại dưới dạng ma trận là AX = B.

• Ma trận \(A_{m x n}\) gọi là ma trận hệ sổ của hệ phương trình.
• Ma trận \(\overline A = (A|B)\) gọi là ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình.
• X gọi là vectơ ẩn.

Một phương pháp thông dụng để giải hệ phương trình tuyến tính là phương pháp Gauss, đưa ma trận hệ số mở rộng \(\overline A \) về dạng bậc thang hay bậc thang thu gọn, nhờ các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} - 2{x_2} - {x_3} = - 6\\ 2{x_1} - {x_2} + {x_3} = 3\\ {x_1} + {x_3} = 4 \end{array} \right.\,\,\,(I)\)

Giải:

Ma trận hệ số mở rộng của (I) là :

Ta có hệ phương trình (I) tương đương:

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_3} = 4\\ {x_2} + {x_3} = 5 \end{array} \right.\,\,\,hay\,\,\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = 4 - {x_3}\\ {x_2} = 5 - {x_3} \end{array} \right.\)

Cho \({x_3} = \alpha \in R\), nghiệm của hệ là  \({x_1} = 4 - \alpha ,{x_2} = 5 - \alpha ,{x_3} = \alpha \)

Như thế, hệ phương trình có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là:

\(X = (4 - \alpha ;5 - \alpha ;\alpha );\alpha \in R\)

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} - {x_2} = - 1\\ 2{x_1} + {x_2} - {x_3} = 1\\ {x_2} + {x_3} = 5 \end{array} \right.\,\,\,(I)\)

Giải

Ma trận hệ số mở rộng của (I) là:

Ta có hệ phương trình tương đương \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = 1\\ {x_2} = 2\\ {x_3} = 3 \end{array} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất X = (1;2;3)

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} - 2{x_3} = 1\\ 2{x_1} + {x_3} = 0\\ 4{x_1} + 2{x_2} - 3{x_3} = 3 \end{array} \right.\,\,(I)\)

Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có hệ phương trình tương đương: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} - 2{x_3} = 1\\ - 2{x_2} + 5{x_3} = - 2\\ 0 = 1 \end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Xét hệ phương trình tuyến tính: AX = B với \({A_{m\,x\,n}},\,{X_{n\,\,x\,1}},\,{B_{m\,x\,1}}\)

Ta có:

•  Hệ có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow R(A) = R(\overline A ) = n\)
•  Hệ có vô số nghiệm  \(\Leftrightarrow R(A) = R(\overline A ) = k < n\)
  • Khi đó, hệ phương trình có k ẩn chính ứng với k phần tử dẫn đầu và n - k ẩn tự do, được chuyển sang vế phải.
• Hệ vô nghiệm \( \Leftrightarrow R(A) < R(\overline A )\)

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} - {x_3} = 2\\ 2{x_1} + {x_3} = 1\\ {x_2} + 2{x_3} = - 2 \end{array} \right.\,(I)\)

Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có: \(R(A) = R(\overline {A)} = 3\) số ẩn

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: X = (1;0;-1)

Ví dụ: Giải hệ phuơng trình tuyến tính

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_2} - 2{x_3} = 1\\ {x_1} + {x_3} = - 2\\ 2{x_1} + 2{x_2} - 2{x_3} = - 1 \end{array} \right.(I)\)

Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có: \(R(A) = 2 < R(\overline {A)} = 3\). Vậy hệ vô nghiệm.

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} - {x_2} + {x_3} = 3\\ 2{x_1} + {x_3} = 2\\ 3{x_1} - {x_2} + 2{x_3} = 5 \end{array} \right.\,(I)\)

Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có: \(R\left( A \right){\rm{ }} = {\rm{ }}R\left( {\overline A } \right){\rm{ }} = {\rm{ }}2\) (số ẩn là 3). Vậy hệ có vô số nghiệm với 2 ẩn chính ứng với 2 phần tử dẫn đầu là x₁, x₂. Giải  x₁, x₂ theo ẩn tự do  x₃ ta có hệ phương trình có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là: \(X = \left( {1 - \frac{\alpha }{2}; - 2 + \frac{\alpha }{2};\alpha } \right)\,với\,\alpha \in R\)

Hệ phương trình tuyến tính AX = B được gọi là hệ Cramer nếu A là ma trận vuông không suy biến , nghĩa là \(\left| A \right| \ne 0\)

Khi đó, ta có nghiệm duy nhất: \(X = A^{-1}B\)

Nếu cấp của ma trận A khá lớn thì việc tìm \(A^{-1}\) tương đổi phức tạp. Hơn nữa, có khi ta chi cần tìm một vài ẩn \(x_j\) thay vì toàn bộ các ẩ\(X=(x_1; x_2;....;x_n)\). Từ đó, người ta tìm ra công thúc tính từng ẩn \(x_j\) dựa vào công thức \(X = A^{-1}B\) như sau :

\({x_j} = \frac{{{D_j}}}{D}\)

Trong đó \(D = \left| A \right|\,và\,{D_j}\) là định thức của ma trận có được từ A bằng cách thay cột j bởi vế phải (cột B ).

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} - 2{x_2} - {x_3} = - 3\\ - 3{x_1} + {x_2} = - 2\\ - 2{x_1} + {x_3} = 1 \end{array} \right.\)

Giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l} D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&{ - 1}\\ { - 3}&1&0\\ { - 2}&0&1 \end{array}} \right| = - 7;\,\,\,\,{D_1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&{ - 2}&{ - 1}\\ { - 2}&1&0\\ 1&0&1 \end{array}} \right| = - 6\\ {D_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 3}&{ - 1}\\ { - 3}&{ - 2}&0\\ { - 2}&1&1 \end{array}} \right| = - 4;\,\,\,{D_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&{ - 3}\\ { - 3}&1&{ - 2}\\ { - 2}&0&1 \end{array}} \right| = - 19 \end{array}\)

Vậy nghiệm là \(X = \left( {\frac{{{D_1}}}{D};\frac{{{D_2}}}{D};\frac{{{D_3}}}{D}} \right) = \left( {\frac{6}{7};\frac{4}{7};\frac{{19}}{7}} \right)\)

Hệ phương trình tuyến tính AX = 0 gọi là hệ thuần nhất. Ngoài các tính chất chung của hệ AX = B, hệ thuần nhất AX = 0 còn có các tính chất riêng như sau :

• Hệ luôn luôn có nghiệm tầm thường X = 0 (không có trường hợp hệ vô nghiệm)
• Nếu A là ma trận vuông, không suy biến thì hệ có nghiệm duy nhất \(X = A^{-1}0 = 0\), chính là nghiệm tầm thường.
• Nếu hệ có vô số nghiệm thì tập nghiệm là một không gian con của không gian \(R^n\) (với n là số ẩn). Một cơ sở của không gian nghiệm được gọi là một hệ nghiệm cơ bản.

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} - {x_2} + {x_3} = 0\\ 2{x_1} - {x_2} = 0\\ {x_2} + 2{x_3} = 0 \end{array} \right.\)

Giải:

Ta có: \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&1\\ 2&{ - 1}&0\\ 0&1&2 \end{array}} \right| = 4 \ne 0\)

Đây là hệ Cramer, nên hệ có nghiệm duy nhất X = (0; 0; 0)

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + 2{x_2} + 5{x_3} = 0\\ - 2{x_1} + {x_2} = 0\\ - {x_1} + 3{x_2} + 5{x_3} = 0 \end{array} \right.\)

Giải:

Ta có: 

 Hệ có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là: \(X = ( - \alpha ; - 2\alpha ;\alpha ) = \alpha ( - 1; - 2;1),\alpha \in R\)

Một hệ nghiệm cơ bản là {(-1;-2;1)}. Số chiều của không gian nghiệm là 1.

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

 \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} - {x_2} - {x_4} = 0\\ {x_2} - {x_3} - {x_4} = 0\\ 2{x_1} - {x_2} - {x_3} - 3{x_4} = 0 \end{array} \right.\)

Giải:

Ta có:

Nghiệm tổng quát là:

\(X = (\alpha + 2\beta ;\alpha + \beta ;\alpha ;\beta ) = \alpha (1;1;1;0) + \beta (2;1;0;1)\,với\,\,\alpha ,\beta \in R\)

Một hệ nghiệm cơ bản là {(1;1;1;0).(2;1;0;1)}. Số chiều của không gian nghiệm là 2.