a) Chứng minh rằng: ∆ABC ∽ ∆HBA. Từ đó suy ra AB²​ = BH.BC.

Xét ∆ABC và ∆HBA có: 

\({\rm{A\hat BC}}\): chung

\({\rm{B\hat AC}} = {\rm{B\hat HA}} = {\rm{9}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}\) (vì ABC vuông tại A, AH \( \bot \) BC)

=> ∆ABC ∽ ∆HBA (g.g)

 \( \Rightarrow \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BH}}}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{{{\rm{AB}}}}\) (= tỉ số đồng dạng)

=> AB² = BH.BC

b) Chứng minh rằng: ∆HAB ∽ ∆HCA và AH² = BH.HC. 

Xét ∆HAB và ∆HCA có: 

\({\rm{A\hat HB}} = {\rm{C\hat HA}} = {\rm{9}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}\)  (vì AH \( \bot \) BC)

     \({\rm{A\hat BH}} = {\rm{C\hat AH}}\)   (cùng phụ góc ACB)

=> ∆HAB ∽ ∆HCA (g.g)

    \( \Rightarrow \frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{HC}}}} = \frac{{{\rm{BH}}}}{{{\rm{AH}}}}\)  (= tỉ số đồng dạng)

=> AH² = BH.HC

c) Trên tia HA lấy các điểm D, E sao cho D là trung điểm của AH, A là trung điểm của HE. Chứng minh rằng D là trực tâm của tam giác BCE.

Ta có: AH² = BH.HC (câu b)

=> AH.AH = BH.HC

\( \Rightarrow {\rm{2DH}}{\rm{.}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{EH}} = {\rm{HB}}{\rm{.HC}}\) (vì D trung điểm AD, A trung điểm EH) 

=> DE.EH = HB.HC