Gọi M là trung điểm của BC.

Vì Tam giác BDC đều nên DM vuông góc BC

Vì Tam giác ABC đều nên AM vuông góc BC

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) là góc \(\widehat {DMA} = {60^0}.\)

Mặt khác tam giác BDC bằng tam giác ABC nên DM=AM.

Từ đó nhận thấy tam giác DAM cân và có 1 góc bằng 60⁰ nên DAM là tam giác đều

nên AD=AM=DM

Ta có: \(DM = DB.\sin \left( {DBM} \right) = a.sin{60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a \Rightarrow AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)

Kẻ DH vuông góc AM suy ra \(DH \bot \left( {ABC} \right)\)

Ta có \(DH = DM.\sin \left( {DMA} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\sin {60^0} = \frac{3}{4}a\)

\({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.DH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{3}{4}.a.\left( {\frac{1}{2}{a^2}.sin{{60}^0}} \right) = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\)