Gọi \(MN\) là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right).\)

Vì \(\left( P \right)\)//\(\left( {SBD} \right),\,\,\,\left( P \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\) và \(\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\) suy ra \(MN\)//\(BD.\)

Lập luận tương tự, ta có

\(\left( P \right)\) cắt mặt \(\left( {SAD} \right)\) theo đoạn giao tuyến \(NP\) với \(NP\)//\(SD.\)

\(\left( P \right)\) cắt mặt \(\left( {SAB} \right)\) theo đoạn giao tuyến \(MP\) với \(MP\)//\(SB.\)

Vậy tam giác \(MNP\) đồng dạng với tam giác \(SBD\) nên thiết diện của \(\left( P \right)\) và hình chóp \(S.ABCD\) là  tam giác đều \(MNP.\)