Ta có

\(SH = \sqrt {S{D^2} - H{D^2}} = \sqrt {S{D^2} - H{A^2} - A{D^2}} = a\sqrt 3\)

Kẻ \(HM \bot BD\), gọi O là giao điểm của AC và BD ta có:

\(AO = \frac{{AO}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow HM = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)

\(HK//BD \Rightarrow HK//\left( {SBD} \right)\)

\(\Rightarrow d\left( {HK;SD} \right) = d\left( {HK;\left( {SBD} \right)} \right)\)

Mà  \(d\left( {HK;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right)\)

Kẻ \(HN \bot SM\) tại M. Khi đó \(d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right) = HN\). 

\(\frac{1}{{H{N^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}} \Rightarrow HN = \frac{{a\sqrt 3 }}{5}\)

\(\Rightarrow d\left( {HK;SD} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{5}\)