Ta có \(f\left( x \right) = \left| {x - 1} \right| = \left\{ \begin{array}{l}
x - 1,x \ge 1\\
 - \left( {x - 1} \right),x < 1
\end{array} \right.\)

\(f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow \) D đúng

\(f\left( x \right) \ge 0,\forall x;f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow \) C đúng

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ \pm }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ \pm }}  \pm \left( {x - 1} \right) = 0 \Rightarrow \) B đúng

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - \left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} =  - 1\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = 1 \ne  - 1
\end{array}\)

Suy ra không tồn tại giới hạn của tỉ số \(\frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\) khi \(x \to 1\)

Do đó hàm số đa cho không có đạo hàm tại x = 1. Chọn A