a) Ta có: \({\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} - a + \frac{1}{4} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + \frac{1}{4} \ge a\)

Tương tự ta cũng có: \({b^2} + \frac{1}{4} \ge b;{c^2} + \frac{1}{4} \ge c\)

Cộng về với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được \({a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{3}{4} \ge a + b + c\) .Vì \(a + b + c = \frac{3}{2}\) nên: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{3}{4}\)

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{2}\)

b) 

P = x² + 2y² + 2xy – 6x – 8y + 2028

P = (x² + y² + 2xy) – 6(x + y) + 9 + y² – 2y + 1 + 2018

P = (x + y – 3)² + (y – 1)² + 2018  2018 

=> Giá trị nhỏ nhất của  P  =  2018 khi x  =  2; y  =  1