Hỏi đáp về Phương pháp quy nạp toán học

A. u_n+1 = 1 +3u_n với n ≥ 1

B. u_n+1 = 1 +3un + 3ⁿ⁺¹ với n ≥ 1

C. u_n+1 = un + 3n+1 - 2 với n ≥ 1

D. u_n+1 = 3un + 3n+1 - 2 với n ≥ 1

A. Đúng

B. Sai

C. Không đúng không sai

D. Vừa đúng vừa sai

A. Mạnh thu được 122 mảnh

B. Mạnh thu được 123 mảnh

C. Mạnh thu được 120 mảnh

D. Mạnh thu được 121 mảnh

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: (13ⁿ - 1) chia hết cho 6

Chứng minh rằng :

n⁵-n ⋮ 10 (n ∈ N )

Chuyên mục: Toán không hay mà vẫn có thưởng!!!

1) Cho \(x;y\in R\) .Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(M=\left|x+1\right|+2\left|x-5\right|+\left|2x-7\right|+\left|\dfrac{x-11}{2}\right|\)

2) Tính: \(1^3+2^3+...+n^3\)

3) Cho tam giác ABC,đường cao AH. Trên 1 nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ là đường thẳng BC lấy 2 điểm D và E sao cho

\(BD\perp BA;BD=BA\) và \(CE\perp CA;CE=CA\).Gọi t là giaio điểm BE và CD. Chứng minh A;T;H thẳng hàng

Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)

Chứng minh: \(\left(4^n+6n-1\right)⋮9\) với \(n\in N;n\ge1\)

CHO \(a+b\ge0\). CMR với mọi số nguyên dương n ta luôn có BĐT sau:(bằng PP quy nạp) \(\dfrac{a^n+b^n}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^n\)

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh các bất đẳng thức :

a) \(3^{n-1}>n\left(n+2\right)\) với \(n\ge4\)

b) \(2^{n-3}>3n-1\) với \(n\ge8\)

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh các đẳng thức sau với \(n\in N^{\circledast}\)

a) \(A_n=\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+....+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\dfrac{n\left(n+3\right)}{4\left(n+1\right)}\)

b) \(B_n=1+3+6+10+...+\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}\)

c) \(S_n=\sin x+\sin2x+\sin3x+...+\sin nx=\dfrac{\sin\dfrac{nx}{2}\sin\dfrac{\left(n+1\right)x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}}\)

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng :

a) \(n^5-n\) chia hết cho 5 với mọi \(n\in N^{\circledast}\)

b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9

c) \(n^3-n\) chia hết cho 6 với mọi \(n\in N^{\circledast}\)

cho số thực x>-1 . chứng minh rằng : (1+x)ⁿ≥1+nx với mọi số nguyên dương n

Cho n số thực \(a_1,a_2,...,a_n\) thỏa mãn điều kiện 

                  \(-1< a_i\le0\) với \(i=\overline{1,n}\)

Chứng minh rằng với mọi \(n\in N^{\circledast}\) ta có 

                    \(\left(1+a_1\right)\left(1+a_2\right)....\left(1+a_n\right)\ge1+a_1+a_2+...+a_n\)

Cho tổng :

                  \(S_n=\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}+\dfrac{1}{9.13}+....+\dfrac{1}{\left(4n-3\right)\left(4n+1\right)}\)

a) Tính \(S_1,S_2,S_3,S_4\)

b) Dự đoán công thức tính \(S_n\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có :

a) \(2^n< 2n+1\)

b) \(2^n>n^2+4n+5\)

c) \(3^n>2^n+7n\)?

Chứng minh rằng với mọi \(n\in N^{\circledast}\), ta có :

a) \(2n^3-3n^2+n\) chia hết cho 6

b) \(11^{n+1}+12^{n-1}\) chia hết cho 133

Chứng minh các đẳng thức sau (với \(n\in N^{\circledast}\))

a) \(2+5+8+...+\left(3n-1\right)=\dfrac{n\left(3n+1\right)}{2}\)

b) \(3+9+27+....+3^n=\dfrac{1}{2}\left(3^{n+1}-3\right)\)

cho dãy số (u_n) với u_n=\(\frac{n}{3^n}\).

a)chứng minh rằng \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\le\frac{2}{3}\) với mọi n .

b) bằng phương pháp quy nạp , chứng minh rằng 0≤u_n≤\(\left(\frac{2}{3}\right)^n\) với mọi n

Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác, Cmr với mọi n>1, n thuộc N ta có : \(a^nb\left(a-b\right)+b^nc\left(b-c\right)+c^na\left(c-a\right)\ge0\)

 

Chứng minh với mọi số nguyên dương, ta luôn có:

                                             1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n² (1)

Chứng minh rằng với n ε  N^*    ta luôn có:

a) n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3;

b) 4ⁿ + 15n - 1 chia hết cho 9;

c) n³ + 11n chia hết cho 6.