Hoạt động 5 trang 108 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1

Hai cát tuyến bất kì a và a’ cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’. Gọi B1 là giao điểm của AC’ với mặt phẳng (Q) (Hình 66).

a) Nêu vị trí tương đối của BB₁ và CC’; B₁B’ và AA’?

b) Có nhận xét gì về các tỉ số: $\frac{A B}{A B_{1}}, \frac{B C}{B_{1} C^{'}}$ và $\frac{C A}{C^{'} A};$ $\frac{A B_{1}}{A^{'} B^{'}}, \frac{B_{1} C^{'}}{B^{'} C^{'}}$ và $\frac{C^{'} A}{C^{'} A^{'}}$ ?

c) Từ kết quả câu a) và câu b), so sánh các tỉ số $\frac{A B}{A^{'} B^{'}}, \frac{B C}{B^{'} C^{'}}$ và $\frac{C A}{C^{'} A^{'}}$ ?

QUẢNG CÁO

Hướng dẫn giải chi tiết Hoạt động 5

a) Ta có: B ∈ (ACC’) và B ∈ (Q) nên B là giao điểm của (ACC’) và (Q);

B₁ ∈ (ACC’) và B₁ ∈ (Q) nên B₁ là giao điểm của (ACC’) và (Q).

Do đó (ACC’) ∩ (Q) = BB₁.

Tương tự, ta có (ACC’) ∩ (R) = CC’.

Ta có: (Q) // (R);

(ACC’) ∩ (Q) = BB₁;

(ACC’) ∩ (R) = CC’.

Suy ra BB₁ // CC’.

Chứng minh tương tự ta cũng có: (P) // (Q);

(AA’C’) ∩ (P) = AA’;

(AA’C’) ∩ (Q) = B₁B’.

Suy ra B₁B’ // AA’.

b) Trong mp(ACC’), xét DACC’ có: BB₁ // CC’ nên theo định lí Thalès ta có:

• $\frac{A B}{A C} = \frac{A B_{1}}{A C^{'}}$ , suy ra $\frac{A B}{A B_{1}} = \frac{C A}{C^{'} A}$ ;

• $\frac{B C}{A C} = \frac{B_{1} C^{'}}{A C^{'}}$ , suy ra $\frac{B C}{B_{1} C^{'}} = \frac{C A}{C^{'} A}$ .

Do đó $\frac{A B}{A B_{1}} = \frac{B C}{B_{1} C^{'}} = \frac{C A}{C^{'} A}$ .

Trong mặt phẳng (AA’C’), xét $∆$ AA’C’có: B₁B’ // AA’ nên theo định lí Thalès ta có:

• $\frac{A B_{1}}{A C^{'}} = \frac{A^{'} B^{'}}{A^{'} C^{'}}$ , suy ra $\frac{A B_{1}}{A^{'} B^{'}} = \frac{C^{'} A}{C^{'} A^{'}}$ ;

• $\frac{B_{1} C^{'}}{A C^{'}} = \frac{B^{'} C^{'}}{A^{'} C^{'}}$ , suy ra $\frac{B_{1} C^{'}}{B^{'} C^{'}} = \frac{C^{'} A}{C^{'} A^{'}}$ .

Do đó $\frac{A B_{1}}{A^{'} B^{'}} = \frac{B_{1} C^{'}}{B^{'} C^{'}} = \frac{C^{'} A}{C^{'} A^{'}}$ .

c) Theo chứng minh ở câu b ta có:

• $\frac{A B}{A C} = \frac{A B_{1}}{A C^{'}}$ và $\frac{A B_{1}}{A C^{'}} = \frac{A^{'} B^{'}}{A^{'} C^{'}}$ nên $\frac{A B}{A C} = \frac{A^{'} B^{'}}{A^{'} C^{'}} (= \frac{A B_{1}}{A C^{'}})$

Do đó $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{C A}{C^{'} A^{'}}$ .

• $\frac{B C}{A C} = \frac{B_{1} C^{'}}{A C^{'}}$ và $\frac{B_{1} C^{'}}{A C^{'}} = \frac{B^{'} C^{'}}{A^{'} C^{'}}$ nên $\frac{B C}{A C} = \frac{B^{'} C^{'}}{A^{'} C^{'}} (= \frac{B_{1} C^{'}}{A C^{'}})$