Bài tập 35 trang 109 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

a) Ta có \(MM'\parallel AB\), \(NN'\parallel AB \Rightarrow MM'\parallel NN'\). Suy ra 4 điểm \(M\), \(M'\), \(N\), \(N'\) đồng phẳng.

Chứng minh tương tự ta cũng có 4 điểm \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) đồng phẳng.

Mặt khác, ta có \(MM'\parallel AB\), \(AB\parallel CD\) nên \(MM'\parallel CD\).

Do \(CD \subset \left( {CDFE} \right)\) nên ta kết luận rằng \(MM'\parallel \left( {CDFE} \right)\).

Hơn nữa, do \(MM'\parallel AB\), nên theo định lí Thales ta có \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AM'}}{{AD}}\).

Chứng minh tương tự ta cũng có \(\frac{{BN}}{{BF}} = \frac{{AN'}}{{AF}}\).

Theo đề bài, vì \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}}\), ta suy ra \(\frac{{AM'}}{{AD}} = \frac{{AN'}}{{AF}}\), tức là \(M'N'\parallel FD\).

Do \(FD \subset \left( {CDFE} \right)\) nên ta kết luận rằng \(M'N'\parallel \left( {CDFE} \right)\).

Vì \(MM'\parallel \left( {CDFE} \right)\), \(M'N'\parallel \left( {CDFE} \right)\), \(MM' \cap M'N' = \left\{ {M'} \right\}\).

Nên ta có \(\left( {MNN'M'} \right)\parallel \left( {CDFE} \right)\), tức là \(\left( {MNN'} \right)\parallel \left( {CDE} \right)\).

Bài toán được chứng minh.

b) Ta có \(AD\parallel BE\), \(BC \subset \left( {BCE} \right)\) nên \(AD\parallel \left( {BCE} \right)\).

Tương tự ta cũng có \(DF\parallel \left( {BCE} \right)\). Vậy \(\left( {ADF} \right)\parallel \left( {BCE} \right)\).

Theo đề bài, vì \(\left( P \right)\parallel \left( {AFD} \right)\) và \(M \in \left( P \right)\).

Nên ba mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\), \(\left( P \right)\) và \(\left( {BCE} \right)\) đôi một phân biệt, và chúng cũng đôi một song song.

Đường thẳng \(AC\) cắt ba mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\), \(\left( P \right)\), \(\left( {BCE} \right)\) lần lượt tại \(A\), \(M\), \(C\).

Đường thẳng \(FE\) cắt ba mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\), \(\left( P \right)\), \(\left( {BCE} \right)\) lần lượt tại \(F\), \(I\), \(E\).

Áp dụng định lí Thales, ta suy ra \(\frac{{AM}}{{FI}} = \frac{{MC}}{{IE}} = \frac{{CA}}{{EF}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{FI}} = \frac{{CA}}{{EF}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{FI}}{{FE}}\).

-- Mod Toán 11 HỌC247