Bài 4 trang 109 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

a)

Ta có: BE // AF (do ABEF là hình bình hành);

AF ⊂ (AFD)

Do đó BE // (AFD).

Ta cũng có: BC // AD (do ABCD là hình bình hành)

AD ⊂ (AFD)

Do đó BC // (AFD).

Do BE // (AFD);

BC // (AFD);

BE, BC cắt nhau tại điểm B và cùng nằm trong mp(BEC)

Suy ra (AFD) // (BEC).

b)

- Do (AFD) song song với (P) nên tồn tại hai đường thẳng trong (AFD) song song với (P).

 + Trong mp(ABEF), qua điểm M vẽ đường thẳng song song với AF, đường thẳng này cắt AB, EF lần lượt tại I, J.

Khi đó IJ // AF, mà AF ⊂ (AFD) nên IJ // (AFD).

 + Trong mp(ABCD), qua điểm I vẽ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại K.

Khi đó IK // AD, mà AD ⊂ (AFD) nên IK // (AFD).

 + Ta có: IJ // (AFD);

IK // (AFD);

IJ, IK cắt nhau tại điểm I và cùng nằm trong mp(IJK).

Do đó (IJK) // (AFD).

Mà M ∈ IJ, IJ ⊂ (IJK) nên mp (P) đi qua M và song song với (AFD) chính là mp(IJK).

- Trong mp(ABCD), AC cắt IK tại N, khi đó N là giao điểm của AC và (P).

Trong mp(ABCD), xét DABC có IN // BC (do IK // AD // BC) nên theo định lí Thalès ta có: .

Trong mp(ABEF), xét DABF có IM // AF nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{AN}{NC}=\frac{AI}{IB}$ .

Gọi O là tâm hình bình hành ABEF. Khi đó O là trung điểm của FB nên FO = OB.

Do M là trọng tâm của $∆$ABE nên $MB=\frac{2}{3}OB$ và $OM=\frac{1}{3}OB$ .

Ta có: $\frac{AN}{NC}=\frac{AI}{IB}=\frac{FM}{MB}=\frac{FO+OM}{MB}=\frac{OB+\frac{1}{3}OB}{\frac{2}{3}OB}=\frac{\frac{4}{3}OB}{\frac{2}{3}OB}=2$ .

Vậy $\frac{AM}{NC}=2$.

-- Mod Toán 11 HỌC247