Giải Bài 1.22 trang 39 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Phương pháp giải

Dựa vào công thức nghiệm tổng quát. 

tan x = m \( \Leftrightarrow \) tan x = tan \(\alpha \) \( \Leftrightarrow \) \(x = \alpha + k\pi \quad (k\in Z)\).

 

Lời giải chi tiết

Vì v₀ = 500 m/s, g = 9,8 m/s² nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là 

\(y = \frac{{ - 9,8}}{{{{2.500}^2}.{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \) hay \(y = \frac{{ - 49}}{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \).

a) Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó \(\frac{{ - 49}}{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha  = 0\)

\(\Leftrightarrow x\left( {\frac{{ - 49}}{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha }}x + \tan \alpha } \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = \frac{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha .\tan \alpha }}{{49}}} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = \frac{{2\,500\,000\cos \alpha .\sin \alpha }}{{49}}} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = \frac{{1\,250\,000\sin 2\alpha }}{{49}}} \end{array}} \right. \end{array}\)

Loại x = 0 (đạn pháo chưa được bắn).

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là \(x = \frac{{1250000\sin 2\alpha }}{{49}}\) (m).

b) Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m thì x = 22 000 m.

Khi đó \(\frac{{1250000\sin 2\alpha }}{{49}} = 22\,000\) ⇔ sin 2α = \(\frac{{539}}{{625}}\)

Gọi β∈[−π/2 ; π/2] là góc thỏa mãn \(\sin \beta  = \frac{{539}}{{625}}\). Khi đó ta có: sin 2α = sin β

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2\alpha = \beta + k2\pi }\\ {2\alpha = \pi - \beta + k2\pi } \end{array}} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\alpha = \frac{\beta }{2} + k\pi }\\ {\alpha = \frac{\pi }{2} - \frac{\beta }{2} + k\pi } \end{array}} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) \end{array}\)

c) Hàm số \(y = \frac{{ - 49}}{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \) là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có tọa độ đỉnh I(x_I; y_I) là

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_I} = - \frac{b}{{2a}}\\ {{y_I} = f\left( {{x_I}} \right)}} \end{array}} \right. \)

Hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_I} = - \frac{{\tan \alpha }}{{2.\frac{{ - 49}}{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha }}}} = \frac{{1\,250\,\,000\cos \alpha \sin \alpha }}{{49}}}\\ {{y_I} = \frac{{ - 49}}{{2\,500\,000{{\cos }^2}\alpha }}{{\left( {\frac{{1\,250\,\,000\cos \alpha \sin \alpha }}{{49}}} \right)}^2} + \frac{{1\,250\,\,000\cos \alpha \sin \alpha }}{{49}}\tan \alpha } \end{array}} \right.\\ \)

Hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_I} = \frac{{1\,250\,\,000\cos \alpha \sin \alpha }}{{49}}}\\ {{y_I} = \frac{{625\,\,000{{\sin }^2}\alpha }}{{49}}} \end{array}} \right.\)

Do đó, độ cao lớn nhất của quả đạn là \({y_{\max }} = \frac{{625\,\,000{{\sin }^2}\alpha }}{{49}}\)

Ta có \({y_{\max }} = \frac{{625\,\,000{{\sin }^2}\alpha }}{{49}} \le \frac{{625\,000}}{{49}}\) , dấu “=” xảy ra khi sin2 α = 1 hay α = 90°.

Như vậy góc bắn α = 90° thì quả đan đạt độ cao lớn nhất.

-- Mod Toán 11 HỌC247