Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 5 Bài 1: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

Một cuộc khảo sát đã tiến hành xác định tuổi (theo năm) của 120 chiếc ô tô. Kết quả điều tra được cho trong Bảng 1.

Tìm các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị, mốt) cho mẫu số liệu ghép nhóm đó như thế nào cho thuận lợi?

Trong Bảng 1 ở phần mở đầu ta thấy:

⦁ Có 13 ô tô có độ tuổi dưới 4;

⦁ Có 29 ô tô có độ tuổi từ 4 đến dưới 8.

Hãy xác định số ô tô có độ tuổi:

a) Từ 8 đến dưới 12;

b) Từ 12 đến dưới 16;

c) Từ 16 đến dưới 20.

Mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 1 có bao nhiêu số liệu? Bao nhiêu nhóm? Tìm tần số của mỗi nhóm?

Một trường trung học phổ thông chọn 36 học sinh nam của khối 11, đo chiều cao của các bạn học sinh đó và thu được mẫu số liệu sau (đơn vị: centimét):

Từ mẫu số liệu không ghép nhóm trên, hãy ghép các số liệu thành năm nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau?

Một thư viện thống kê người đến đọc sách vào buổi tối trong 30 ngày của tháng vừa qua như sau:

Lập bảng tần số ghép nhóm có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng sau:

[25; 34); [34; 43); [43; 52); [52; 61); [61; 70); [70; 79); [79; 88); [88; 97).

 Trong Bảng 4, có bao nhiêu số liệu với giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải:

a) 163 của nhóm 1?                   

b) 166 của nhóm 2?

c) 169 của nhóm 3?                     

d) 172 của nhóm 4?

e) 175 của nhóm 5?

Trong bài toán ở Luyện tập 2, lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng:

[25; 34); [34; 43); [43; 52); [52; 61); [61; 70); [70; 79); [79; 88); [88; 97).

Xét mẫu số liệu trong Ví dụ 2 được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm (Bảng 7).

a) Tìm trung điểm x₁ của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm 1. Ta gọi trung điểm x₁ là giá trị đại diện của nhóm 1.

b) Bằng cách tương tự, hãy tìm giá trị đại diện của bốn nhóm còn lại. Từ đó, hãy hoàn thiện các số liệu trong Bảng 7.

c) Tính giá trị $\overline{x}$ cho bởi công thức sau: $\overline{x}=\frac{n_1{x}_1+n_2{x}_2+\dots +n_5{x}_5}{n}$.

Giá trị $\overline{x}$ gọi là số trung bình cộng của mẫu số liệu đã cho.

Xác định số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trong bài toán ở Luyện tập 2?

Trong phòng thí nghiệm, người ta chia 99 mẫu vật thành năm nhóm căn cứ trên khối lượng của chúng (đơn vị: gam) và lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ như Bảng 10.

a) Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}=\frac{99}{2}$ = 49,5 có đúng không?

b) Tìm đầu mút trái r, độ dài d, tần số n­₃ của nhóm 3; tần số tích lũy cf₂ của nhóm 2.

c) Tính giá trị M_e theo công thức sau: M_e = $r+\left(\frac{49,5-c{f}_2}{n_3}\right)\cdot d$.

Giá trị M_e được gọi là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho.

 Xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 1.

Giáo viên chủ nhiệm chia thời gian sử dụng Internet trong một ngày của 40 học sinh thành năm nhóm (đơn vị: phút) và lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như Bảng 12.

a) Tìm trung vị M_e của mẫu số liệu ghép nhóm đó. Trung vị M_e còn gọi là tứ phân vị thứ hai Q₂ của mẫu số liệu trên.

b) • Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}$ = 10 có đúng không?

⦁ Tìm đầu mút trái s, độ dài h, tần số n₂ của nhóm 2; tần số tích luỹ cf₁ của nhóm 1. Sau đó, hãy tính giá trị Q₁ theo công thức sau: Q₁ = $s+\left(\frac{10-c{f}_1}{n_2}\right)\cdot h$.

Giá trị nói trên được gọi là tứ phân vị thứ nhất Q₁ của mẫu số liệu đã cho.

c) • Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 40}{4}$ = 30 có đúng không?

• Tìm đầu mút trái t, độ dài l, tần số n₃ của nhóm 3; tần số tích luỹ cf₂ của nhóm 2. Sau đó, hãy tính giá trị Q₃ theo công thức sau: Q₃ = $t+\left(\frac{30-c{f}_2}{n_3}\right)\cdot l$.

Giá trị nói trên được gọi là tứ phân vị thứ ba Q₃ của mẫu số liệu đã cho.

Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu trong Bảng 1 (làm tròn các kết quả đến hàng đơn vị).

Quan sát bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ ở Ví dụ 6 rồi cho biết:

a) Nhóm nào có tần số lớn nhất?

b) Đầu mút trái và độ dài của nhóm có tần số lớn nhất bằng bao nhiêu?

Tìm mốt của mẫu số liệu trong Ví dụ 6 (làm tròn các kết quả đến hàng phần mười).

Mẫu số liệu dưới đây ghi lại tốc độ của 40 ô tô khi đi qua một trạm đo tốc độ (đơn vị: km/h).

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có sáu nhóm ứng với sáu nửa khoảng:

[40; 45), [45; 50), [50; 55), [55; 60), [60; 65), [65; 70).

b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?

Mẫu số liệu sau ghi lại cân nặng của 30 bạn học sinh (đơn vị: kilôgam):

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng:

[15; 20), [20; 25), [25; 30), [30; 35), [35; 40), [40; 45), [45; 50), [50; 55).

b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên?

c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?

Bảng 15 cho ta bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê chiều cao của 40 mẫu cây ở một vườn thực vật (đơn vị: centimét).

a) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?

Khi thống kê chiều cao của 40 bạn lớp 11A, ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng 7 (đơn vị: centimét).

a) Độ dài của mỗi nhóm bằng:

A. 155.

B. 5.

C. 175.

D. 20.

b) Tần số của nhóm [160;165) là bao nhiêu?

A. 5.

B. 16.

C. 12.

D. 7.

c) Nhóm có tần số lớn nhất là:

A. [155;160).

B. [160;165).

C. [165;170).

D. [170;175).

d) Giá trị \(c{f_3}\) bằng:

A. 16.

B. 17.

C. 23.

D. 33.

e) Giá trị đại diện của nhóm [155;160) bằng:

A. 157,5.

B. 155.

C. 160.

D. 5.

g) Nhóm có giá trị đại diện bằng 162,5 là:

A. [155;160).

B. [160;165).

C. [165;170).

D. [170;175).

Xác định các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng 7 (làm tròn các kết quả đến hàng phần mười)?

Cho mẫu số liệu ghép nhóm thống kê thời gian sử dụng điện thoại trước khi ngủ (đơn vị: phút) của một người trong 120 ngày như ở Bảng 8. Xác định các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu đó (làm tròn các kết quả đến hàng phần mười).

Khi thống kê chỉ số đường huyết (đơn vị: mmol/L) của 28 người cao tuổi trong một lần đo, ta được kết quả sau:

a) Lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy có năm nhóm ứng với năm nửa khoảng: [7,0;7,2), [7,2;7,4), [7,4;7,6), [7,6;7,8), [7,8;8,0].

b) Độ dài của mỗi nhóm bằng:

Với mẫu số liệu ghép nhóm thu được ở Bài 4, xác định các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm đó (làm tròn các kết quả đến hàng phần mười)?