Bài tập 3.6 trang 130 SBT Hình học 11

Lấy điểm O cố định rồi đặt \(\overrightarrow {O{A_1}}  = \overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {O{B_1}}  = \overrightarrow {{b_1}} ,\overrightarrow {O{C_1}}  = \overrightarrow {{c_1}} ,\overrightarrow {O{D_1}}  = \overrightarrow {{d_1}} \)

Điều kiện cần và đủ để tứ giác A1B1C1D1 là hình bình hành là:

\(\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{c_1}}  = \overrightarrow {{b_1}}  + \overrightarrow {{d_1}} \) (theo bài 3.2) (1)

Đặt \(\overrightarrow {O{A_2}}  = \overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {O{B_2}}  = \overrightarrow {{b_2}} ,\overrightarrow {O{C_2}}  = \overrightarrow {{c_2}} ,\overrightarrow {O{D_2}}  = \overrightarrow {{d_2}} \)

Điều kiện cần và đủ để tứ giác A₂B₂C₂D₂ là hình bình hành là:

\(\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{c_2}}  = \overrightarrow {{b_2}}  + \overrightarrow {{d_2}} \,\,\,\left( 2 \right)\)

Đặt \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow c ,\overrightarrow {OD}  = \overrightarrow d \)

Ta có \(\frac{{A{A_1}}}{{A{A_2}}} = 3 \Rightarrow \overrightarrow {A{A_1}}  =  - 3\overrightarrow {A{A_2}} \)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \overrightarrow {O{A_1}}  - \overrightarrow {OA}  =  - 3\left( {\overrightarrow {O{A_2}}  - \overrightarrow {OA} } \right)\\
 \Leftrightarrow \overrightarrow {{a_1}}  - \overrightarrow a  =  - 3\left( {\overrightarrow {{a_2}}  - \overrightarrow a } \right)\\
 \Leftrightarrow \overrightarrow a  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {{a_1}}  + 3\overrightarrow {{a_2}} } \right)
\end{array}\)

Tương tự: \(\overrightarrow b  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {{b_1}}  + 3\overrightarrow {{b_2}} } \right),\overrightarrow c  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {{c_1}}  + 3\overrightarrow {{c_2}} } \right),\overrightarrow d  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {{c_1}}  + 3\overrightarrow {{d_2}} } \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow c  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {{a_1}}  + 3\overrightarrow {{a_2}} } \right) + \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {{c_1}}  + 3\overrightarrow {{c_2}} } \right) = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{c_1}} } \right) + \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{c_2}} } \right)\)

Và \(\overrightarrow b  + \overrightarrow d  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {{b_1}}  + 3\overrightarrow {{b_2}} } \right) + \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {{d_1}}  + 3\overrightarrow {{d_2}} } \right) = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {{b_1}}  + \overrightarrow {{d_1}} } \right) + \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {{b_2}}  + \overrightarrow {{d_2}} } \right)\)

Từ (1) và (2) ta có \(\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{c_1}}  = \overrightarrow {{b_1}}  + \overrightarrow {{d_1}} \) và \(\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{c_2}}  = \overrightarrow {{b_2}}  + \overrightarrow {{d_2}}\) nên suy ra \(\overrightarrow a  + \overrightarrow c  = \overrightarrow b  + \overrightarrow d  \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD} \) \( \Leftrightarrow \) tứ giác ABCD là hình bình hành.