Bài tập 2.38 trang 81 SBT Hình học 11

a) MB' qua M và song song với (ABC) và (ABD) ⇒ MB′ song song với giao tuyến AB của hai mặt phẳng này. Ta có: MB′ // AB nên MB' và AB xác định một mặt phẳng. Giả sử MB cắt AB' tại I.

Ta có: I ∈ BM ⇒ I ∈ (BCD); I ∈ AB′ ⇒ I ∈ (ACD)

Suy ra I ∈ (BCD) ∩ (ACD) = CD

Vậy ba đường thẳng AB', BM và CD đồng quy tại I.

b) MB′ // AB ⇒ \(\frac{{MB'}}{{AB}} = \frac{{IM}}{{IB}}\)

Kẻ MM′ ⊥ CD và BH ⊥ CD

Ta có: MM′ // BH \( \Rightarrow \frac{{IM}}{{IB}} = \frac{{MM'}}{{BH}}\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
dt\left( {\Delta MCD} \right) = \frac{1}{2}CD.MM'\\
dt\left( {\Delta BCD} \right) = \frac{1}{2}CD.BH
\end{array} \right.\\
\frac{{dt\left( {\Delta MCD} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}} = \frac{{\frac{1}{2}CD.MM'}}{{\frac{1}{2}CD.BH}} = \frac{{MM'}}{{BH}}
\end{array}\)

Do đó: \(\frac{{MB'}}{{AB}} = \frac{{IM}}{{IB}} = \frac{{MM'}}{{BH}} = \frac{{dt\left( {\Delta MCD} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}}\)

Vậy \(\frac{{MB'}}{{BA}} = \frac{{dt\left( {\Delta MCD} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}}\)

c) Tương tự ta có: \(\frac{{MC'}}{{CA}} = \frac{{dt\left( {\Delta MBD} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}}\)

\(\frac{{MD'}}{{DA}} = \frac{{dt\left( {\Delta MBC} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}}\)

Vậy:

\(\begin{array}{l}
\frac{{MB'}}{{BA}} + \frac{{MC'}}{{CA}} + \frac{{MD'}}{{DA}} = \frac{{dt\left( {\Delta MCD} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}} + \frac{{dt\left( {\Delta MBD} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}} + \frac{{dt\left( {\Delta MBC} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}}\\
 = \frac{{dt\left( {\Delta MCD} \right) + dt\left( {\Delta MBD} \right) + dt\left( {\Delta MBC} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}} = \frac{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}} = 1
\end{array}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247