Hai thấu kính hội tụ có các tiêu cự lần lượt là f1 = 10cm và f2 = 20cm được đặt đồng trục và cách nhau l = 30cm.

a)  Xác định ảnh của vật cho bởi hệ và vẽ đường đi của một chùm tia sáng

-  Sơ đồ tạo ảnh qua hệ: 

\(\text{AB}\underset{\left\{ \begin{matrix} {{\text{d}}_{\text{1}}} \\ \text{d}_{\text{1}}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }} \\ \end{matrix} \right.}{\overset{\text{(}{{\text{L}}_{\text{1}}}\text{)}}{\mathop{\to }}}\,{{\text{A}}_{\text{1}}}{{\text{B}}_{\text{1}}}\underset{\left\{ \begin{matrix} {{\text{d}}_{\text{2}}} \\ \text{d}_{\text{2}}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }} \\ \end{matrix} \right.}{\overset{\text{(}{{\text{L}}_{\text{2}}}\text{)}}{\mathop{\to }}}\,{{\text{A}}_{\text{2}}}{{\text{B}}_{\text{2}}}\)

-   Xét các quá trình tạo ảnh qua hệ:

+  Với A1B1: 

\(\left\{ \begin{matrix} {{\text{d}}_{\text{1}}}\text{ = 12cm}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \text{d}_{\text{1}}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}\text{ = }\frac{{{\text{d}}_{\text{1}}}{{\text{f}}_{\text{1}}}}{{{\text{d}}_{\text{1}}}-{{\text{f}}_{\text{1}}}}\text{ = }\frac{\text{12}\text{.10}}{\text{12}-\text{10}}\text{ = 60cm} \\ \end{matrix} \right.\)

+  Với A2B2: 

\(\left\{ \begin{matrix} {{\text{d}}_{\text{2}}}\text{ = }l-\text{d}_{\text{1}}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}\text{ = 30}-\text{60 =}-\text{30cm}\ \ \ \ \ \ \\ \text{d}_{\text{2}}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}\text{ = }\frac{{{\text{d}}_{\text{2}}}{{\text{f}}_{\text{2}}}}{{{\text{d}}_{\text{2}}}-{{\text{f}}_{\text{2}}}}\text{ = }\frac{-\text{30}\text{.(20)}}{-\text{30}-\text{20}}\text{ = 12 cm} \\ \end{matrix} \right.\)

-   Số phóng đại của ảnh: \(\text{k = }\left( -\frac{{{\text{d}}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}}_{\text{2}}}{{{\text{d}}_{\text{2}}}} \right)\text{.}\left( -\frac{{{\text{d}}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}}_{\text{1}}}{{{\text{d}}_{\text{1}}}} \right)\text{ = }\left( -\frac{\text{12}}{-\text{30}} \right)\text{.}\left( -\frac{\text{60}}{\text{12}} \right)\text{ =}-\text{2}\).

Vậy: Ảnh cuối cùng là ảnh thật cách (O2) 12cm và cao gấp đôi vật.

b) Chứng tỏ độ lớn của ảnh không phụ thuộc vị trí của vật

Ta có: \(\text{k = }\frac{{{\text{f}}_{\text{2}}}}{{{\text{f}}_{\text{2}}}-{{\text{d}}_{\text{2}}}}\text{.}\frac{{{\text{f}}_{\text{1}}}}{{{\text{f}}_{\text{1}}}-{{\text{d}}_{\text{1}}}}\text{ = }\frac{{{\text{f}}_{\text{2}}}}{{{\text{f}}_{\text{2}}}-\text{(}l-\text{d}_{\text{1}}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }})}\text{.}\frac{{{\text{f}}_{\text{1}}}}{{{\text{f}}_{\text{1}}}-{{\text{d}}_{\text{1}}}}\).

→ \(\text{k = }\frac{{{\text{f}}_{\text{2}}}}{{{\text{f}}_{\text{2}}}-l\text{ + }\frac{{{\text{d}}_{\text{1}}}{{\text{f}}_{\text{1}}}}{{{\text{d}}_{\text{1}}}-{{\text{f}}_{\text{1}}}}}\text{.}\frac{{{\text{f}}_{\text{1}}}}{{{\text{f}}_{\text{1}}}-{{\text{d}}_{\text{1}}}}\) = \(\frac{\text{20}}{\text{20}-\text{30 + }\frac{\text{10}{{\text{d}}_{1}}}{{{\text{d}}_{\text{1}}}-\text{10}}}\text{.}\frac{\text{10}}{\text{10}-{{\text{d}}_{\text{1}}}}\)

→ \(\text{k = }\frac{\text{20(}{{\text{d}}_{\text{1}}}-\text{10)}}{\text{100}}\text{.}\frac{\text{10}}{\text{10}-{{\text{d}}_{\text{1}}}}\text{ =}-\text{2}\)

Vậy: Độ lớn của ảnh không phụ thuộc vị trí của vật.

c)  Suy rộng cho hai thấu kính hội tụ có tiêu cự f1, f2

Ta có: \(\text{k = }\frac{{{\text{f}}_{\text{2}}}}{{{\text{f}}_{\text{2}}}-l\text{ + }\frac{{{\text{d}}_{\text{1}}}{{\text{f}}_{\text{1}}}}{{{\text{d}}_{\text{1}}}-{{\text{f}}_{\text{1}}}}}\text{.}\frac{{{\text{f}}_{\text{1}}}}{{{\text{f}}_{\text{1}}}-{{\text{d}}_{\text{1}}}}=\frac{-{{\text{f}}_{\text{2}}}\text{(}{{\text{f}}_{\text{1}}}-{{\text{d}}_{\text{1}}}\text{)}}{{{\text{f}}_{\text{2}}}{{\text{d}}_{\text{1}}}-{{\text{f}}_{\text{1}}}{{\text{f}}_{\text{2}}}-l{{\text{d}}_{\text{1}}}\text{ + }l{{\text{f}}_{\text{1}}}\text{ + }{{\text{d}}_{\text{1}}}{{\text{f}}_{\text{1}}}}\text{.}\frac{{{\text{f}}_{\text{1}}}}{{{\text{f}}_{\text{1}}}-{{\text{d}}_{\text{1}}}}\) .

→ \(\text{k = }\frac{-{{\text{f}}_{\text{1}}}{{\text{f}}_{\text{2}}}}{{{\text{d}}_{\text{1}}}\text{(}{{\text{f}}_{\text{1}}}\text{+ }{{\text{f}}_{\text{2}}}-l\text{)}-{{\text{f}}_{\text{1}}}\text{(}{{\text{f}}_{\text{2}}}-l\text{)}}\) với: l = f1 + f2 → \(\text{k = }\frac{{{\text{f}}_{\text{2}}}}{{{\text{f}}_{\text{2}}}-l}\text{ =}-\frac{{{\text{f}}_{\text{2}}}}{{{\text{f}}_{\text{1}}}}\).

Vậy: Độ lớn của ảnh không phụ thuộc vị trí của vật mà chỉ phụ thuộc vào tiêu cự của hai thấu kính. Hệ thấu kính này gọi là hệ vô tiêu.