Chứng minh rằng với \(n \in {\mathbb N}^*\), ta có đẳng thức: \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}\) \(= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

Với \(n = 1\), vế trái bằng \(1\), vế phải bằng \( \dfrac{1(1+1)(2+1)}{6}= 1\) nên hệ thức c) đúng với \(n = 1\).

Đặt vế trái bằng \(S_n\).

Giả sử hệ thức c) đúng với \(n = k  ≥ 1\), tức là

\(S_k= {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2}\) \(=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)

Ta phải chứng minh \( S_{k+1}=\dfrac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}\)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 

\({S_{k + 1}}= {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2}+(k+1)^2 \)

\(= {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}{\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\)

\( = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}\)

\(\begin{array}{l}
= \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right) + 6{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k + 1} \right) + 6\left( {k + 1} \right)} \right]}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 2 + 1} \right)}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left[ {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}{6}
\end{array}\)

(đpcm)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi  \(n \in {\mathbb N}^*\).