-
Câu hỏi:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi: \({u_1} = \sin 1\,;\,\,\,{u_n} = {u_{n - 1}} + \frac{{\sin n}}{{{n^2}}}\), với \(\forall n \in N,\,\,n \ge 2\).
Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định như trên là một dãy số bị chặn.
Lời giải tham khảo:
Ta có: \(\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} < 2,\forall n \in {N^*}\), vì
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} < 1 + \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n.(n - 1)}} = }\\
{ = 1 + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n} = 2 - \frac{1}{n} < 2}
\end{array}\)Bằng qui nạp ta CM được: \({u_n} = \frac{{\sin 1}}{{{1^2}}} + \frac{{\sin 2}}{{{2^2}}} + ... + \frac{{\sin n}}{{{n^2}}}\)
Suy ra : \( - 2 < - \left( {\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) \le {u_n} \le \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} < 2,\forall n \in {N^*}\)
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định như trên là một dãy số bị chặn.
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Giải phương trình: \({\sin ^2}3x\cos 2x + {\sin ^2}x = 0.\)
- Chứng minh \(C_5^0C_{2014}^k + C_5^1C_{2014}^{k - 1} + ... + C_5^5C_{2014}^{k - 5} = C_{2019}^k\) biết k là số tự nhiên thỏa mãn \(5 \le k \le 2014\).
- Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi: \({u_1} = \sin 1\,;\,\,\,{u_n} = {u_{n - 1}} + \frac{{\sin n}}{{{n^2}}}\), với \(\forall n \in N,\,\,n \ge 2\). Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định như trên là một dãy số bị chặn.
- Chứng minh \(AD \bot BC\) biết tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh bằng \(a\) và tam giác BCD cân tại D với \(DC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
- Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng \(\frac{{27}}{2}\) và tam giác ABC với A(2;1), B(- 1;2), trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng \(x + y - 2 = 0\).
- Chứng minh \(\left( {\frac{4}{{{a^2} + {b^2}}} + 1} \right)\left( {\frac{4}{{{b^2} + {c^2}}} + 1} \right)\left( {\frac{4}{{{c^2} + {a^2}}} + 1} \right) \ge 3{\left( {a + b + c} \right)^2}\) biết các số dương \(a, b, c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\).