a) ĐKXĐ : x, y khác 0

=> 2y + 2x + 1 = xy

<=> xy - 2x - 2y - 1 = 0

<=> x(y - 2) - (2y - 4) - 5 = 0

 <=> (y - 2)(x - 2) = 5

      Vì x, y \( \in \) Z => x - 2, y - 2 \( \in \) Z. Do đó ta có bảng giá trị :

Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên (3 ; 7) , (7 ; 3) , (1 ; -3) , (-3 ; 1) 

b) \(P = 2x + y + \frac{{30}}{x} + \frac{5}{y}\)

\(\begin{array}{l}
 = \frac{4}{5}x + \frac{6}{5}x + \frac{4}{5}y + \frac{y}{5} + \frac{{30}}{x} + \frac{5}{y}\\
 = \frac{4}{5}(x + y) + (\frac{6}{5}x + \frac{{30}}{x}) + (\frac{y}{5} + \frac{5}{y})
\end{array}\)

Vì x, y > 0 nên áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương \(\frac{6}{5}x\) và \(\frac{{30}}{x}\) , \(\frac{y}{5}\) và  \(\frac{5}{y}\) 

ta có :  \(\frac{6}{5}x + \frac{{30}}{x} \ge 2\sqrt {\frac{6}{5}x.\frac{{30}}{x}}  = 12\) (1)

\(\frac{y}{5} + \frac{5}{y} \ge 2\sqrt {\frac{y}{5}.\frac{5}{y}}  = 2\) (2)

Từ (1), (2) và từ giả thiết x + y  10 => P  8 + 12 + 2 = 22

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x,y > 0\\
\frac{6}{5}x = \frac{{30}}{x}\\
\frac{y}{5} = \frac{5}{y}\\
x + y = 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5\\
y = 5
\end{array} \right.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 22 <=> x = y = 5