Đề thi HSG cấp trường môn Toán 11 năm 2020 Trường THPT Nguyễn Đăng Đạo

Câu 1. (2,0 điểm) Cho parabol \(\left( P \right):y={{x}^{2}}-2x\) và đường thẳng d:y = 2x + m. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (O là gốc tọa độ).

Câu 2. (4,0 điểm)

            1) Giải phương trình: \(\frac{\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x+3\sin x-\sqrt{3}\cos x-1}{2\cos x+\sqrt{3}}=0\)  

            2) Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x\left( {x - 1} \right) + \sqrt x  = \sqrt {y + 1} \left( {1 + y\sqrt {y + 1} } \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)}\\
{3\left( {x - 1} \right) = 2\sqrt {4 + y}  - 4\sqrt {2 - y}  + \sqrt {9 - {x^2}} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)}
\end{array}} \right.\)

Câu 3. (4,0 điểm)

            1) Chứng minh rằng phương trình \({m^2}{x^4} - {x^3} - 2{m^2} + 2m = 0\) luôn có nghiệm với mọi \(m \in R\).

            2) Cho dãy số \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = \frac{1}{4}\\
{u_{n + 1}} = \frac{4}{{4 - {u_n}}},{\mkern 1mu} \forall n \in {N^*}
\end{array} \right.\). Tính giới hạn \(\lim \left( {{u}_{n}} \right)\)

Câu 4. (2,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có \(A\left( 2;3 \right)\). Các điểm \(I\left( 6;6 \right)\), \(J\left( 4;5 \right)\) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm C.   

Câu 5. (5,0 điểm)

1) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB=a,\,AD=b\), cạnh bên SAvuông góc với đáy.

a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SB và CD. Biết đường thẳng IJ tạo với mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) một góc \({{60}^{0}}\). Tính độ dài đoạn thẳng SA.

b) \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng thay đổi qua AB và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M và N. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AN và BM. Chứng minh rằng biểu thức  \(T=\frac{AB}{MN}-\frac{BC}{SK}\) có giá trị không đổi.

2) Cho tứ diện ABCD có \(AD=BC=2a,\,AC=BD=2b\), \(AB.CD=4{{c}^{2}}\). Gọi M là điểm di động trong không gian. Chứng minh rằng biểu thức \(H={{\left( MA+MB+MC+MD \right)}^{2}}\ge 8\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\).   

Câu 6. (3,0 điểm)

1) Có hai cái hộp đựng tất cả 15 viên bi, các viên bi chỉ có 2 màu đen và trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 viên bi. Biết số bi ở hộp 1 nhiều hơn hộp 2, số bi đen ở hộp 1 nhiều hơn số bi đen ở hộp 2 và xác suất để lấy được 2 viên đen là \(\frac{5}{28}\). Tính xác suất để lấy được 2 viên trắng.

            2) Cho các số thực \(x,\,y,\,z\) thỏa mãn \(x,y,z\ge 1\) và \(3\left( x+y+z \right)={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2xy\).

     Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( x+y \right)}^{2}}+x}+\frac{x}{{{z}^{2}}+x}\)

---Để xem đầy nội dung Đề thi HSG cấp trường môn Toán 11 năm 2020 Trường THPT Nguyễn Đăng Đạo, các em vui lòng đăng nhập vào trang hoc247.net để xem online hoặc tải về máy tính---

Trên đây là trích một phần nội dung Đề thi HSG cấp trường môn Toán 11 năm 2020 Trường THPT Nguyễn Đăng Đạo. Để xem toàn bộ nội dung các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới