Giải Bài 1.4 trang 16 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Phương pháp giải

- Từ hệ thức lượng giác cơ bản và mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác.

- Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại số.

Lời giải chi tiết

a) Vì 0 < α < $\frac{\pi }{2}$ nên sin α > 0. Mặt khác, từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

$\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

Do đó, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}}=2\sqrt{6}$ và $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{12}$.

b) Vì $\frac{\pi }{2}<\pi <\pi$ nên cos α < 0. Mặt khác, từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

$\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Do đó, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}=-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$ và $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\frac{2\sqrt{5}}{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$.

c) Ta có: $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên cos α < 0. Mặt khác, từ $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ suy ra

$\cos \alpha =-\sqrt{\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }}=-\sqrt{\frac{1}{1+{\left(\sqrt{5}\right)}^2}}=-\frac{\sqrt{6}}{6}$.

Mà $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\Rightarrow \sin \alpha =\tan \alpha .\cot \alpha =\sqrt{5}.\left(-\frac{\sqrt{6}}{6}\right)=-\frac{\sqrt{30}}{6}$.

d) Ta có: $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=\frac{1}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=-\sqrt{2}$.

Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên cos α > 0. Mặt khác, từ $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ suy ra

$\cos \alpha =\sqrt{\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }}=\sqrt{\frac{1}{1+{\left(-\sqrt{2}\right)}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Mà $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\Rightarrow \sin \alpha =\tan \alpha .\cot \alpha =-\sqrt{2}.\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.

-- Mod Toán 11 HỌC247