Bài tập 6 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST

a) Ta có:

$u_{n+1}-u_n=\left[\left(n+1\right)-\sqrt{{\left(n+1\right)}^2-1}\right]-\left(n+\sqrt{n^2-1}\right)$

$=1-\sqrt{{\left(n+1\right)}^2-1}-\sqrt{n^2-1}<\mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$

Suy ra u_n+1 < u_n

Do đó $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.

b) Xét $u_n=\frac{n+{\left(-1\right)}^n}{n^2}$

Ta có: $u_1=0;u_2=\frac{3}{4};u_3=\frac{2}{9}$.

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{u}_2>u_1\\ u_3<u_2\end{array}\right.$.

Do đó, (u_n) là dãy số không tăng, không giảm.

c) Ta có:

u_n+1 - u_n = $\frac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}-\frac{3^n-1}{2^n}=\frac{{3.3}^n-1}{{2.2}^n}-\frac{3^n-1}{2^n}$

$=\frac{{3.3}^n-1-2\left(3^n-1\right)}{{2.2}^n}=\frac{{3.3}^n-1-{2.3}^n+2}{{2.2}^n}$

$=\frac{3^n+1}{2^{n+1}}>0,\forall n\in \mathbb{N}*.$

Do đó, (u_n) là dãy số tăng.

-- Mod Toán 11 HỌC247