Bài tập 2.15 trang 68 SBT Hình học 11

a) Ta có: I ∈ (SAD) ⇒ I ∈ (SAD) ∩ (IBC)

Vậy (\left\{ \begin{array}{l}
AD\parallel BC\\
AD \subset \left( {SAD} \right)\\
BC \subset \left( {IBC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {IBC} \right) = PQ\) và PQ //AD // BC (1)

Tương tự: J ∈ (SBC) ⇒ J ∈ (SBC) ∩ (JAD)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}
AD\parallel BC\\
AD \subset \left( {JAD} \right)\\
BC \subset \left( {SBC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {JAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = MN\) và \(MN\parallel BC\parallel AD\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra PQ // MN.

b) Ta có: \(\begin{array}{l}
E = AM \cap BP \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
E \in \left( {AMND} \right)\\
E \in \left( {PBCQ} \right)
\end{array} \right.\\
F = DN \cap CQ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
F \in \left( {AMND} \right)\\
F \in \left( {PBCQ} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do đó: EF = (AMND) ∩ (PBCQ)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}
AD\parallel BC\\
MN\parallel PQ
\end{array} \right.\) suy ra \(EF\parallel AD\parallel BC\parallel MN\parallel PQ\).

Tính EF:

CP ∩ EF = K ⇒ EF = EK + KF

\(\begin{array}{l}
EK\parallel BC \Rightarrow \frac{{EK}}{{BC}} = \frac{{PE}}{{PB}}\\
PM\parallel AB \Rightarrow \frac{{PE}}{{EB}} = \frac{{PM}}{{AB}}
\end{array}\)

Mà \(\frac{{PM}}{{AB}} = \frac{{SP}}{{SA}} = \frac{2}{3}\) suy ra \(\frac{{PE}}{{EB}} = \frac{2}{3}\).

Từ (∗) suy ra

\(\frac{{EK}}{{BC}} = \frac{{PE}}{{PB}} = \frac{{PE}}{{PE + EB}} = \frac{1}{{1 + \frac{{EB}}{{PE}}}} = \frac{1}{{1 + \frac{3}{2}}} = \frac{2}{5}\)

\( \Rightarrow EK = \frac{2}{5}BC = \frac{2}{5}b\)

Tương tự ta tính được \(KF = \frac{{2a}}{5}\)

Vậy: \(EF = \frac{2}{5}a + \frac{2}{5}b = \frac{2}{5}\left( {a + b} \right)\)

-- Mod Toán 11 HỌC247