Bài tập 47 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB ⊥ BC, SA = AB = 3a, BC = 4a. Tính khoảng cách:
a) Từ điểm C đến mặt phẳng (SAB);
b) Giữa hai đường thẳng SA và BC;
c) Từ điểm A đến mặt phẳng (SBC);
d) Từ điểm B đến mặt phẳng (SAC);
e*) Giữa hai đường thẳng AB và SC.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài tập 47
a) Do SA ⊥ (ABC), BC ⊂ (ABC) nên SA ⊥ BC.
Ta có: BC ⊥ SA, BC ⊥ AB và SA ∩ AB = A trong (SAB)
Suy ra BC ⊥ (SAB).
Như vậy: d(C, (SAB)) = BC = 4a.
b) Do SA ⊥ (ABC), AB ⊂ (ABC) nên SA ⊥ AB.
Mặt khác AB ⊥ BC.
Suy ra AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA và BC.
Như vậy: d(SA, BC) = AB = 3a.
c) Gọi H là hình chiếu của điểm A trên SB hay AH ⊥ SB.
Do BC ⊥ (SAB), AH ⊂ (SAB) nên BC ⊥ AH.
Ta có: AH ⊥ BC, AH ⊥ SB và BC ∩ SB = B trong (SBC)
Suy ra AH ⊥ (SBC).
Như vậy: d(A, (SBC)) = AH.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SAB vuông tại A (SA ⊥ AB), đường cao AH ta có:
Vậy
d) Gọi I là hình chiếu của B trên AC hay BI ⊥ AC.
Do SA ⊥ (ABC), BI ⊂ (ABC) nên SA ⊥ BI.
Ta có: BI ⊥ AC, BI ⊥ SA, AC ∩ SA = A trong (SAC)
Suy ra BI ⊥ (SAC).
Như vậy: d(B, (SAC)) = BI.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại B (AB ⊥ BC), đường cao BI ta có:
Vậy
e*) · Lấy D ∈ (ABC) sao cho ABCD là hình bình hành.
Mà (do AB ⊥ BC) nên ABCD là hình chữ nhật.
Suy ra CD ⊥ AD.
Do SA ⊥ (ABC), CD ⊂ (ABC) nên SA ⊥ CD.
Ta có: CD ⊥ AD, CD ⊥ SA, AD ∩ SA = A trong (SAD)
Suy ra CD ⊥ (SAD).
· Gọi K là hình chiếu của A trên SD hay AK ⊥ SD.
Do CD ⊥ (SAD), AK ⊂ (SAD) nên CD ⊥ AK.
Ta có: AK ⊥ SD, AK ⊥ CD, SD ⋂ CD = D trong (SCD)
Suy ra AK ⊥ (SCD).
Ta có: AB // CD (vì ABCD là hình chữ nhật) và CD ⊂ (SCD).
Suy ra AB // (SCD).
Như vậy: d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)) = AK.
Ta có: SA ⊥ (ABC), AD ⊂ (ABC) nên SA ⊥ AD hay
Do ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC = 4a.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SAD vuông tại A đường cao AK ta có:
Vậy
-- Mod Toán 11 HỌC247
Bài tập SGK khác
Chưa có câu hỏi nào. Em hãy trở thành người đầu tiên đặt câu hỏi.
