\(\forall {x_1},{x_2} \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right],{x_2} > {x_1}\)

Xét \(f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \left( {{x_2} - {x_1}} \right) + {\cos ^2}{x_2} - {\cos ^2}{x_1}\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \left( {{x_2} - {x_1}} \right) - \sin \left( {{x_2} + {x_1}} \right).\sin \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\\
 \ge \left( {{x_2} - {x_1}} \right) - \sin \left( {{x_2} - {x_1}} \right) > 0
\end{array}\)

Vì \(0 < {x_2} - {x_1} \le \frac{\pi }{4}\) và ta có \(x > \sin x\) với bất kì thuộc \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) (1)

(dùng: cạnh huyền > cạnh góc vuông và độ dài cung tròn > độ dài cung trương cung đó ⇒ (1))

⇒ Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\)

\( \Rightarrow f\left( 0 \right) = 1 \le f\left( x \right) \le f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2},\forall \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\)

⇒ GTLN bằng \(\frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}\) khi \(x = \frac{\pi }{4}\) và GTNN bằng 1 khi x = 0.