OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE
  • Câu hỏi:

    Cho tổng \( {S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{n}{{n + 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\). Mệnh đề nào đúng?

    • A. 
      \( {S_n} = \frac{1}{{n + 1}}\)
    • B. 
      \( {S_n} = \frac{n}{{n + 1}}\)
    • C. 
      \( {S_n} = \frac{n}{{n + 2}}\)
    • D. 
      \( {S_n} = \frac{n+1}{{n + 2}}\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: B

    Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta sẽ chứng minh được

    \({S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{n}{{n + 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\)

    Thật vậy, với n=1 ta có \( {S_1} = \frac{1}{{1.2}} = \frac{1}{2} = \frac{1}{{1 + 1}}\)

    Giả sử (*) đúng đến n=k(k≥1), khi đó ta có:

    \( {S_k} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{k}{{k + 1}}\) ta chứng minh (*) đúng đến n=k+1, tức là cần chứng minh

    \( {S_{k + 1}} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{k + 1}}{{k + 2}}\)

    Ta có:

    \(\begin{array}{*{20}{l}} {{S_{k + 1}} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}}\\ { = \frac{k}{{k + 1}} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{k\left( {k + 2} \right) + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{{k^2} + 2k + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{\left( {k + 1} \right)}}{{\left( {k + 2} \right)}}.} \end{array}\)

    Vậy (∗) đúng với mọi số nguyên dương n.

    Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

ADSENSE/
QUẢNG CÁO
 

 

CÂU HỎI KHÁC

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11