Xét dãy \((a_1)\) là độ dài cạnh của của dãy hình vuông

\({C_1},{C_2},{C_3},...,{C_n}...\) với \(a_1=4\)

Ta có

\({a_{n + 1}} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{4}{a_n}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4}{a_n}} \right)}^2}}  = {a_n}.\frac{{\sqrt {10} }}{4}\)

Vậy dãy \((a_1)\) lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(\frac{{\sqrt {10} }}{4}\)

Ta có \({S_{n + 1}} = {\left( {{a_{n + 1}}} \right)^2} = {\left( {{a_n}.\frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} = {\left( {{a_n}} \right)^2}.\frac{5}{8} = {S_n}.\frac{5}{8}\)

Suy ra dãy \((S_n)\) lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{5}{8}\) và \(S_1=16\)

Vậy \({S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ... = \frac{{{S_1}}}{{1 - q}} = \frac{{16}}{{1 - \frac{5}{8}}} = \frac{{128}}{3}\)