-
Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 \). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
A.
\(\cos \frac{\varphi }{2} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}\)
-
B.
\(\cos \frac{\varphi }{2} = \frac{1}{4}\)
-
C.
\(\sin \frac{\varphi }{2} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}\)
-
D.
\(\sin \frac{\varphi }{2} = \frac{1}{4}\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: C
.png)
Ta có SB = SD = 2a
Vì \(\Delta SCD = \Delta SCB{\rm{ (c}}{\rm{.c}}{\rm{.c)}}\) nên chân đường cao hạ từ B và D đến SC của hai tam giác đó trùng nhau và độ dài đường cao bằng nhau ⇒ BH = DH
Do đó \(\widehat {\left( {(SBC),(SCD)} \right)} = \widehat {DHB} = \varphi \)
Ta có
\(\begin{array}{l} OB = OD = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\\ \frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}} \Rightarrow BH = DH = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}a \end{array}\)
Lại có BH = DH và O là trung điểm BD nên \(HO \bot BD\) hay \(\Delta HOB\) vuông tại O
\(OH = \sqrt {B{H^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{2\sqrt 5 a}}{5}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {30} }}{{10}}a\)
Ta có \(\sin \frac{\varphi }{2} = \frac{{OH}}{{BH}} = \frac{{\frac{{\sqrt {30} }}{{10}}}}{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4};\sin \frac{\varphi }{2} = \frac{{OB}}{{BH}} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5}}} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}\)
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (CB'D') và (BDA') bằng
- Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD') và (BA'C') bằng
- Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a.
- Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Khoảng cách giữa (AB'C) và (A'DC') bằng:
- Cho tứ diện ABCD có \(AB = a{,^{}}BD = 3a\).
- Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC)
- Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SBC) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC). Khẳng định nào sau đây sai?
- Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và đáy ABC là tam giác cân ở A.
- Cho hình lăng trụ ABCD.BCD. Hình chiếu vuông góc của A lên (ABC) trùng với trực tâm H của tam giác ABC.
- Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SBC) và (SAC) vuông góc với đáy (AC). Khẳng định nào sau đây sai
- Cho tứ diện ABCD có \(AB \bot \left( {BCD} \right)\). Trong \(\Delta BCD\) vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau ở O.
- Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi \({d_B},{d_C}\) lần lượt là đường thẳng đi qua B, C và vuông góc với (ABC).
- Cho góc tam diện Sxyz với \(\widehat {xSy} = {120^0},\widehat {ySz} = {60^0},\widehat {zSx} = {90^0}\).
- Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và nằm trong mặt phẳng (P).
- Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại \(B,\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)\).
- Cho hình lăng trụ ABCABC có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30o.
- Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\) có cạnh bên bằng a.
- Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 60o,
- Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A'D'.
- Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CB'D') bằng
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết \(SO \bot \left( {ABCD} \right),SO = a\sqrt 3 \)
- Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), SA = x.
- Lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh AA' sao cho \(AM = \frac{{3a}}{4}\).
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng bao nhiêu?
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 \).
- Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD) bằng
- Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A, D, AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại D lấy điểm S với \(SD = a\sqrt 2 .\) Tính khoảng cách giữa DC và (SAB).
- Cho hình chóp S.ABCD có \(SA \bot \left( {{\rm{ }}ABCD} \right),\) mặt đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và (SAD).
- Cho hình chóp O.ABC có đường cao \(OH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và (ABC) bằng
- Cho hình chóp OABC có đường cao \(OH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB.
- Cho hình lập phương \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\) có cạnh bằng a . Hãy tìm mệnh đề sai trong những mệnh đề sau đây:
- Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm của MN . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- Cho hình lập phương \(A B C D \cdot A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\) . Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng
- Khoanh vào câu đúng. Cho tứ diện ABCD .
- Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:
- Cho ba vectơ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) không đồng phẳng. Xét các vectơ \(\vec{x}=2 \vec{a}-\vec{b} ; \vec{y}=-4 \vec{a}+2 \vec{b} ; \vec{z}=-3 \vec{b}-2 \vec{c}\). Chọn khẳng định đúng
- Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' . có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt \(\overrightarrow{A C^{\prime}}=\vec{u}, \overrightarrow{C A^{\prime}}=\vec{v}, \overrightarrow{B D^{\prime}}=\vec{x}, \overrightarrow {D B^{\prime}}=\vec{y}\) . Khẳng định nào sau đây đúng?
- Cho biết có tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD .
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt \(\overrightarrow{S A}=\vec{a} ; \overrightarrow{S B}=\vec{b} ; \overrightarrow{S C}=\vec{c},\overrightarrow{S D}=\vec{d}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
- Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A , B , C , D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A , B , C , D tạo thành hình bình hành là
