Hoạt động khám phá 3 trang 54 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,n \ge 2\).

b) Cộng vế với vế các kết quả của câu a).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{u_1} + {u_n} = {u_1} + \left[ {{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\\
 = {u_1} + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d
\end{array}&{}\\
\begin{array}{l}
{u_2} + {u_{n - 1}} = \left[ {{u_1} + d} \right] + \left[ {{u_1} + \left( {\left( {n - 1} \right) - 1} \right)d} \right]\\
 = {u_1} + d + {u_1} + \left( {n - 2} \right)d = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d
\end{array}&{}\\
\begin{array}{l}
{u_3} + {u_{n - 2}} = \left[ {{u_1} + 2d} \right] + \left[ {{u_1} + \left( {\left( {n - 3} \right) - 1} \right)d} \right]\\
 = {u_1} + 2d + {u_1} + \left( {n - 3} \right)d = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d
\end{array}&{}\\
 \vdots &{}\\
{{u_k} + {u_{n - k + 1}} = \left[ {{u_1} + \left( {k - 1} \right)d} \right] + \left[ {{u_1} + \left( {\left( {n - k + 1} \right) - 1} \right)d} \right]}&{}\\
{ = {u_1} + \left( {k - 1} \right)d + {u_1} + \left( {n - k} \right)d = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d}&{}
\end{array}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} + {u_n} = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\{u_2} + {u_{n - 1}} = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\{u_3} + {u_{n - 2}} = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\ \vdots \\{u_n} + {u_1} = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\end{array}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\begin{array}{l}2\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n}} \right) = n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\\ \Leftrightarrow 2\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n}} \right) = n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\end{array}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247