Bài tập 19 trang 103 SGK Hình học 11 NC
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
a. Chứng minh rằng SG ⊥ (ABC). Tính SG.
b. Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm C1 nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P).
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Vì SA = SB = SC nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Mà G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SG ⊥ mp(ABC)
Gọi I là trung điểm của BC.
Ta có : AI ⊥ BC và BC ⊥ SI
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
SI = \sqrt {S{C^2} - I{C^2}} \\
= \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{4{b^2} - {a^2}}}{2}}
\end{array}\\
{GI = \frac{1}{3}AI = \frac{1}{3}.a\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}}
\end{array}\)
Trong tam giác vuông SGI ta có :
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
SG = \sqrt {S{I^2} - G{I^2}} \\
= \sqrt {\frac{{4{b^2} - {a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{{12}}}
\end{array}\\
{ = \sqrt {\frac{{12{b^2} - 4{a^2}}}{{12}}} = \sqrt {\frac{{3{b^2} - {a^2}}}{3}} }
\end{array}\)
b) Kẻ AC1 ⊥ SC thì (P) chính là mp(ABC1)
Vì SAC là tam giác cân mà AC1 ⊥ SC nên C1 nằm giữa S và C khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l}
\widehat {ASC} < {90^0}\\
\Leftrightarrow A{S^2} + C{S^2} > A{C^2}\\
\Leftrightarrow 2{b^2} > {a^2}
\end{array}\)
Ta có : AB ⊥ GC và AB ⊥ SG ⇒ AB ⊥ SC
SC ⊥ AC1 và SC ⊥ AB nên SC ⊥ (ABC1)
Thể tích tứ diện SABC là:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{V_{SABC}} = \frac{1}{3}SG.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}SC.{S_{AB{C_1}}}}\\
\begin{array}{l}
\Rightarrow {S_{AB{C_1}}} = \frac{{SG.{S_{ABC}}}}{{SC}}\\
= \frac{{\sqrt {\frac{{3{b^2} - {a^2}}}{3}} .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}}{b} = \frac{{{a^2}\sqrt {3{b^2} - {a^2}} }}{{4b}}
\end{array}
\end{array}\)
-- Mod Toán 11 HỌC247
Bài tập SGK khác
-
hình không gian. 11
bởi Tam Thiên 09/08/2017
Cho hình chop' SABCD , ABCD là hình vuông cạnh a ,SA vuông góc với (ABCD),SA=2a Tính
a,cos(SB;(ABCD))
b,cos(SC;(SAB))
c,cos(SB,CD)
d,cos ((SBC);(ABCD))
e,cos((SBC);(SAD))
f,cos((SBC);(SCD))
Theo dõi (1) 1 Trả lời -
hình không gian. 11.
bởi Tam Thiên 09/08/2017
Cho hình chop' SABCD , ABCD là hình vuông cạnh a ,SA vuông góc với (ABCD),SA=a Tính
a,cos(SB;(ABCD))
b,cos(SC;(SAB))
c,cos(SB,CD)
d,cos ((SBC);(ABCD))
e,cos((SBC);(SAD))
f,cos((SBC);(SCD))
Theo dõi (1) 2 Trả lời