Bài tập 1.24 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

a) Tại thời điểm 8 giờ sáng ta có \(t = 8 - 6 = 2\). Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm 8 giờ sáng là:

\(\) \(S(2) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.2} \right)} \right| = 40\sqrt 3 \,(m)\)

Tại thời điểm 12 giờ trưa ta có \(t = 12 - 6 = 6\). Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm 12 giờ trưa là:

\(S(6) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.6} \right)} \right| = 0\,(m)\)

Tại thời điểm 2 giờ chiều (14h) ta có \(t = 14 - 6 = 8\). Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm 2 giờ chiều là:

\(S(8) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.8} \right)} \right| = \frac{{40\sqrt 3 }}{3}\,(m)\)

Tại thời điểm 5 giờ 45 chiều tối (17h45) ta có \(t = 17 + \frac{3}{4} - 6 = \frac{{39}}{4}\). Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm 2 giờ chiều là:

\(S\left( {\frac{{39}}{4}} \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.\frac{{39}}{4}} \right)} \right| \approx 59,86\,(m)\)

b) Độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà khi:

\(\begin{array}{l}S(t) = 40 \Leftrightarrow 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)} \right| = 40 \Leftrightarrow \cot \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = \pm 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow t = \pm 3 + 12k\,\,(k \in \mathbb{Z}).\end{array}\)

Vì \(0 \le t \le 12\) nên \(t = 3\) hoặc \(t = 9\), tức là tại thời điểm 9 giờ sáng hoặc 3 giờ chiều thì bóng của tòa nhà dài bằng chiều cao của tòa nhà.

c) Khi thời gian tiến dần đến 6 giờ tối thì t tiến dần đến 12. Vì vậy \(\frac{\pi }{{12}}t \to \pi \), do đó \(\cot \frac{\pi }{{12}}t \to - \infty \).

Như vậy, bóng của tòa nhà sẽ tiến ra vô cùng.

-- Mod Toán 11 HỌC247