Bài tập 11 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho tam giác OA₁A₂ vuông cân tại A₂ có cạnh huyền OA₁ bằng a. Bên ngoài tam giác OA₁A₂, vẽ tam giác OA₂A₃ vuông cân tại A₃. Tiếp theo, bên ngoài tam giác OA₂A₃, vẽ tam giác OA₃A₄ vuông cân tại A₄. Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta vẽ được một dãy các hình tam giác vuông cân (Hình 2). Tính độ dài đường gấp khúc A₁A₂A₃A₄...?

QUẢNG CÁO

Hướng dẫn giải chi tiết Bài tập 11

Ta có các góc $\hat{A_{1} O A_{2}}, \hat{A_{2} O A_{3}}, \hat{A_{3} O A_{4}}, \dots$ đều bằng 45°.

Ta có:

$A_{1} A_{2} = O A_{2} = O A_{1} \cdot cos 45^{\circ} = a \frac{\sqrt{2}}{2};$

$A_{2} A_{3} = O A_{3} = O A_{2} \cdot cos 45^{\circ} = a \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

$A_{3} A_{4} = O A_{4} = O A_{3} \cdot cos 45^{\circ} = a {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}$

Vậy độ dài các đoạn thẳng A₁A₂, A₂A₃, A₃A₄, ... tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_{1} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ và công bội $q = \frac{\sqrt{2}}{2}$ thỏa mãn |q| < 1.

Do đó, độ dài đường gấp khúc A₁A₂A₃A₄... là:

$l = \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot (2 + \sqrt{2}) = a (1 + \sqrt{2}) .$