OPTADS360
AANETWORK
LAVA
YOMEDIA

Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 4 Bài 4 Định nghĩa và một số định lí về giới hạn của hàm số

Banner-Video
https://m.hoc247.net/docview/viewfile/1.1.114/web/?f=https://m.hoc247.net/tulieu/2019/20190712/.pdf?r=4586
ADSENSE/
QUẢNG CÁO
 
Banner-Video

Mời các em học sinh lớp 11 cùng tham khảo tài liệu Hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK Toán 11 nâng cao Chương 4 Bài 4 Định nghĩa và một số định lí về giới hạn của hàm số do HỌC247 tổng hợp và biên soạn dưới đây. Nội dung tài liệu bao gồm phương pháp giải và đáp án gợi ý được trình bày một cách khoa học và dễ hiểu, giúp các em dễ dàng vận dụng, nâng cao kỹ năng làm bài. Chúc các em học tốt!

 

 
 

Bài 21 trang 151 SGK Toán 11 nâng cao

Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, tìm các giới hạn sau :

a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x + 1}}\)

b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {5 - x} }}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Với x ≠ −1 ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{x + 1}} = x - 4\)  

Với mọi dãy số (xn) trong khoảng \(R\backslash \left\{ 1 \right\}\) (tức là \({x_n} \ne  - 1, \forall n\)), mà \(\lim x_n=-1\), do đó:

\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {{x_n} - 4} \right) =  - 1 - 4 =  - 5\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x + 1}}=-5\)

Câu b:

Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {5 - x} }}\) là \(D = \left( { - \infty ;5} \right)\)

Với mọi dãy (xn) trong khoảng \(\left( { - \infty ;5} \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\) sao cho \(\lim {x_n} = 1\), ta có:

\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \frac{1}{{\sqrt {5 - x_n} }} = \frac{1}{2}\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {5 - x} }} = \frac{1}{2}\)


Bài 22 trang 152 SGK Toán 11 nâng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \cos \frac{1}{x}\) và hai dãy số \(\left( {x{'_n}} \right),\left( {x'{'_n}} \right)\) với:

\(x{'_n} = \frac{1}{{2n\pi }},\,\,\,\,\,\,\,\,\,x'{'_n} = \frac{1}{{\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{2}}}\)

a. Tìm giới hạn của các dãy số \(\left( {x{'_n}} \right),\left( {x'{'_n}} \right),\left( {f\left( {x{'_n}} \right)} \right)\) và \(\left( {f\left( {x'{'_n}} \right)} \right)\)

b. Tồn tại hay không \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos \frac{1}{x}\)?

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\lim x{'_n} = \lim \frac{1}{{2n\pi }} = 0\\
\lim x'{'_n} = \lim \frac{1}{{\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{2}}} = 0\\
\lim f\left( {x{'_n}} \right) = \lim \cos 2n\pi  = 1\\
\lim f\left( {x'{'_n}} \right) = \lim \cos \left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{2} = 0
\end{array}\)

Câu b:

Vì \(\lim f\left( {x{'_n}} \right) \ne \lim f\left( {x'{'_n}} \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos \frac{1}{x}\).


Bài 23 trang 152 SGK Toán 11 nâng cao

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3{x^2} + 7x + 11} \right)\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - {x^3}}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{\sqrt x  - 3}}{{9x - {x^2}}}\)

e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 4} \right|\)

f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {\frac{{{x^4} + 3x - 1}}{{2{x^2} - 1}}} \)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3{x^2} + 7x + 11} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 3{x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 7x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 11 = {3.2^2} + 7.2 + 11 = 37\)

Câu b:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - {x^3}}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}} = \frac{0}{{ - 2}} = 0\)

Câu c:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left( {1 - \frac{1}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - 1} \right) =  - 1\)

Câu d:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{\sqrt x  - 3}}{{9x - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{\sqrt x  - 3}}{{ - x\left( {x - 9} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{1}{{ - x\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} =  - \frac{1}{{54}}\)

Câu e:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 4} \right| = 1\)

Câu f:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {\frac{{{x^4} + 3x - 1}}{{2{x^2} - 1}}}  = \sqrt {\frac{{{2^4} + 3.2 - 1}}{{{{2.2}^2} - 1}}}  = \sqrt 3 \)


Bài 24 trang 152 SGK Toán 11 nâng cao

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{3{x^2} - x + 7}}{{2{x^3} - 1}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2{x^4} + 7{x^3} - 15}}{{{x^4} + 1}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{x^6} + 2} }}{{3{x^3} - 1}}\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^6} + 2} }}{{3{x^3} - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{3{x^2} - x + 7}}{{2{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^3}\left( {\frac{3}{x} - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{7}{{{x^3}}}} \right)}}{{{x^3}\left( {2 - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\frac{3}{x} - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{7}{{{x^3}}}}}{{2 - \frac{1}{{{x^3}}}}} = \frac{0}{2} = 0
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2{x^4} + 7{x^3} - 15}}{{{x^4} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^4}\left( {2 + \frac{7}{x} - \frac{{15}}{{{x^4}}}} \right)}}{{{x^4}\left( {1 + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2 + \frac{7}{x} - \frac{{15}}{{{x^4}}}}}{{1 + \frac{1}{{{x^4}}}}} = 2
\end{array}\)

Câu c:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{x^6} + 2} }}{{3{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^3}\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^6}}}} }}{{{x^3}\left( {3 - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^6}}}} }}{{3 - \frac{1}{{{x^3}}}}} = \frac{1}{3}\)

Câu d:

Với mọi x < 0, ta có:

\(\frac{{\sqrt {{x^6} + 2} }}{{3{x^3} - 1}} = \frac{{\left| {{x^3}} \right|\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^6}}}} }}{{{x^3}\left( {3 - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)}} = \frac{{ - {x^3}\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^6}}}} }}{{{x^3}\left( {3 - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)}} = \frac{{ - \sqrt {1 + \frac{2}{{{x^6}}}} }}{{3 - \frac{1}{{{x^3}}}}}\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^6} + 2} }}{{3{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 + \frac{2}{{{x^6}}}} }}{{3 - \frac{1}{{{x^3}}}}} =  - \frac{1}{3}\)


Bài 25 trang 152 SGK Toán 11 nâng cao

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \sqrt[3]{{\frac{{{x^2} + 2x}}{{8{x^2} - x + 3}}}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x\sqrt x }}{{{x^2} - x + 2}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \sqrt[3]{{\frac{{{x^2} + 2x}}{{8{x^2} - x + 3}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \sqrt[3]{{\frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{8 - \frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}}}} = \frac{1}{2}\)

Câu b:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x\sqrt x }}{{{x^2} - x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x\sqrt x }}{{{x^2}\left( {1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{\sqrt x \left( {1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)}} = 0\)

(vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{\sqrt x }} = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}}} = 1\))

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 4 Bài 4 Định nghĩa và một số định lí về giới hạn của hàm số với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.

ADMICRO
NONE

ERROR:connection to 10.20.1.101:9312 failed (errno=111, msg=Connection refused)
ERROR:connection to 10.20.1.101:9312 failed (errno=111, msg=Connection refused)
OFF