Bài tập trắc nghiệm về Hàm ẩn liên quan đến GTNN, GTLN của hàm số có lời giải chi tiết

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN GTNN, GTLN CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Cho đồ thị, bảng biến thiên của hàm số \(y=f(x)\), tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\,,\,y = f\left( {u\left( x \right)} \right)\)  trên khoảng, đoạn.

Câu 1. Biết hàm số y = f(x) liên tục trên R có M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2]. Hàm số \(y = f\left( {\frac{{4x}}{{{x^2} + 1}}} \right)\) có tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là

A. M + m.                       B.2M + m  .                  C. M + 2m.                  D. 2M + 2m.

Lời giải

Chọn A

Đặt \(g\left( x \right) = \frac{{4x}}{{{x^2} + 1}}, x \in \left[ {0;2} \right]\). Ta có: \(g'\left( x \right) = \frac{{ - 4{x^2} + 4}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ {0;2} \right]\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: \(0 \le g\left( x \right) \le 2\).

Do đó: Hàm số y = f(x) liên tục trên R có M và m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [0;2] khi và chỉ khi hàm số \(y = f\left[ {g\left( x \right)} \right]\) liên tục trên R có M và m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [0;2].

Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( {\frac{{4x}}{{{x^2} + 1}}} \right)\) là M + m.

Câu 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Khi đó hàm số \(y = f\left( {2 - {x^2}} \right)\) đạt GTLN  trên \(\left[ {0;\sqrt 2 } \right]\) bằng

A. f(0).                                                                                            B. f(1).

C. \(f\left( {\sqrt 2 } \right)\).                                                            D. f(2).

Lời giải

Chọn A

Đặt \(t = 2 - {x^2}\), từ \(x \in \left[ {0;\sqrt 2 } \right]\), ta có \(t \in \left[ {0;2} \right]\).

Trên [0;2] hàm số y = f(t) nghịch biến. Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = f\left( 0 \right).\)

Câu 3. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng \(f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) và \(g\left( x \right) = f\left( {f\left( x \right)} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn [-3;-1].

A. - 2 .                             B. 2 .                             C. 1 .                              D. \( - \frac{4}{3}\) .

Lời giải

Chọn B

Từ hình vẽ ta có: TCN là \(y = \frac{a}{c} = 0\, \Leftrightarrow \,a = 0\).

TCĐ là \(x =  - \frac{d}{c}\, = \,1\, \Leftrightarrow \,c =  - d\).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên \(\frac{b}{d} = 1\, \Leftrightarrow \,b = d\,\left( {d\, \ne \,0} \right)\).

Khi đó \(f\left( x \right) = \frac{d}{{ - dx + d}} = \,\frac{1}{{ - x + 1}} \Rightarrow \,g\left( x \right) = f\left( {f\left( x \right)} \right) = \frac{1}{{ - \frac{1}{{ - x + 1}} + 1}} = \frac{{ - x + 1}}{{ - x}}\).

TXĐ hàm g(x) là \({D_g} = R\backslash \left\{ 0 \right\}\), suy ra hàm số g(x) xác định trên [-3;-1].

\(g'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\,\), với \(\forall x\, \in \,\left[ { - 3\,;\, - 1} \right]\).

\(g\left( { - 3} \right) = \,\frac{4}{3},g\left( { - 1} \right) = \,2\)

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3\,;\, - 1} \right]} g\left( x \right) = 2\).

Câu 4. Cho x, y thoả mãn \(5{x^2} + 6xy + 5{y^2} = 16\) và hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(P = f\left( {\frac{{{x^2} + {y^2} - 2}}{{{x^2} - {y^2} - 2xy + 4}}} \right).\) Tính \({M^2} + {m^2}.\) 

A. \({M^2} + {m^2}.=4\)            B. \({M^2} + {m^2}=1\)                C. \({M^2} + {m^2}=25\)           D. \({M^2} + {m^2}=2\)  

Lời giải

Chọn A

Ta có: \(t = \frac{{{x^2} + {y^2} - 2}}{{{x^2} - {y^2} - 2xy + 4}} = \frac{{8{x^2} + 8{y^2} - 16}}{{8{x^2} - 8{y^2} - 16xy + 2.16}} = \frac{{3{x^2} - 6xy + 3{y^2}}}{{18{x^2} - 4xy + 2{y^2}}}.\)  

TH1: Xét \(y = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{6} \Rightarrow f\left( t \right) = m \in \left( {0; - 2} \right).\) 

TH2: Xét \(y \ne 0 \Rightarrow t = \frac{{3{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} - 6.\frac{x}{y} + 3}}{{18{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} - 4.\frac{x}{y} + 2}}.\) Đặt \(u = \frac{x}{y},\) ta có: \(t = \frac{{3{u^2} - 6u + 3}}{{18{u^2} - 4u + 2}}.\) 

Xét \(g\left( u \right) = \frac{{3{u^2} - 6u + 3}}{{18{u^2} - 4u + 2}};\,g'\left( u \right) = \frac{{96{u^2} - 96u}}{{{{\left( {18{u^2} - 4u + 2} \right)}^2}}};g'\left( u \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = 0}\\
{u = 1}
\end{array}} \right.\).

Ta lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{u \to  + \infty } g\left( u \right) = \mathop {\lim }\limits_{u \to  - \infty } g\left( u \right) = \frac{1}{6}.\) Từ đó lập bảng biến thiên ta có

Từ bảng biến ta có \(0 \le g\left( u \right) \le \frac{3}{2} \Rightarrow 0 \le t \le \frac{3}{2}.\) 

Quan sát đồ thị ta ta thấy rằng: \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;\frac{3}{2}} \right]} {\rm{P}} = 0;\mathop {\,min}\limits_{\left[ {0;\frac{3}{2}} \right]} {\rm{P}} =  - 2.\)

Vậy \({M^2} + {m^2} = 4.\)  

Câu 5. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M, m lần lượt là GTLN – GTNN của hàm số \(g\left( x \right) = f\left[ {2\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)} \right].\)

 Tổng M + m bằng

A.   3.                              B. 5.                             C. 4.                                        D. 6.

Lời giải

Chọn C

Ta có \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x,\forall x \in R\).

Vì \(0 \le {\sin ^2}2x \le 1,\forall x \in R \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 1,\forall x \in R\) \(\Rightarrow 1 \le 2\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) \le 2.\)

Dựa vào đồ thị suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}
M = \mathop {\max }\limits_{} g\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 3\\
m = \mathop {\min }\limits_{} g\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 1
\end{array} \right. \Rightarrow M + m = 4.\) 

 

{-- xem đầy đủ nội dung Bài tập trắc nghiệm về Hàm ẩn liên quan đến GTNN, GTLN của hàm số có lời giải chi tiết ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Bài tập trắc nghiệm về Hàm ẩn liên quan đến GTNN, GTLN của hàm số. Để xem toàn bộ nội dung và đáp án đề thi các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính. 

Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em học sinh lớp 12 ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới.

>>> Các em có thể tham khảo thêm : 150 câu trắc nghiệm Chuyên đề Hàm số Giải tích lớp 12 có đáp án